一般来说，我们可以用来表示复数，其中
如果复数看作在复平面上一个的一个点
考虑将该点转换为极坐标：
我们制造，除其他外
去找复数还可以表示为 .
也就是
我们先考虑一个引理：
如果引理1：的复数表示为，那么它的n次方可以表示为
证明：可以用一般的代数方式求得：
整理
举一反三。
接下来让我们考虑另一个引理：
引理2：证明
证明：知道。
那么证书就齐全了。
接下来，让我们试试将引理2这个公式推广到复数域:
设置，其中
那么根据引理2，有。接下来证明右极限存在。
第一
上述公式可以用引理1在极坐标中表示。
先考虑形式：也可以用极坐标写。
应有
再次获得
因此
我们分别计算这两部分的极限：
因为这个极限不好求，所以求极限。
我们根据等价无穷小得到它
也就是
所以知道原因
下一次计算
根据等价无穷小
获取：
因此
因此：
因此
这就是著名的欧拉公式：
当我们代入时，它以简洁明了的方式把数学中的几个特殊量联系起来。
