《数与形》 教学设计 　　

　　

　　教学目标： 　　

　　

　　1.通过观察、计算和分析，可以在形状中找到数的规律；你也可以在数字中找到相应的形状。 　　

　　

　　2.体验探索数形的全过程，在探索的过程中进一步感知数形结合的思想。 　　

　　

　　3.引导学生感受用形表示数的直观性和用数解释形的规律性，体会数形结合思想在解题中的优越性。 　　

　　

　　教学重难点： 　　

　　

　　重点：发现了数和形的隐藏规律，理解了数和形的对应关系。，认识到了数形结合的概念，并意识到它的优越性。 　　

　　

　　难点:利用数字和形状相结合的思想来解决问题。 　　

　　

　　教学过程： 　　

　　

　　一、谈话引入，揭示主题 　　

　　

　　老师：在之前的学习中，我们经常处理数字和形状。有没有体验过数形结合解题？现在我们来穿越时空看一看。 　　

　　

　　(展示微课：一年级9 ^ 7=16用棍子解决，三年级四分之一加四分之三借方计算，四年级植树) 　　

　　

　　老师：其实数形结合的思想对我们来说并不陌生，它贯穿于我们的数学学习始终。著名数学家华曾经说过这样一段话：“数少了，直觉就少了；数字缺失时，难以细致入微；数字和形状可以以各种方式组合，一切都可以分离。”(演示课件) 　　

　　

　　老师：我们在班上一起读吧。 　　

　　

　　师：数形结合好。有什么好的？这节课，我们将走进数学的广角——数与形(板书)来探究其中的奥秘。 　　

　　

　　二、活动体验，解决问题 　　

　　

　　 　　

　　

　　老师：看这些数字。有多少个小正方形？用数字或者公式来表达。将结果写在你的任务清单上。 　　

　　

　　老师：有的同学写了一种或者几种。请再考虑一下。你能从不同的角度写出其他的表达吗？(请3名学生将答案写在黑板上) 　　

　　

　　1: 1, 4, 9, 16 　　

　　

　　健康：1，22，32，42 　　

　　

　　3: 1, 1 3, 1 3 5, 1 3 5 7 　　

　　

　　老师：这里有三种不同的表达方式。你能理解第一个吗？你是怎么来的？ 　　

　　

　　生：直达号。 　　

　　

　　老师：第二个呢？ 　　

　　

　　2:用行数乘以每行小方块的个数。 　　

　　

　　老师：那很好！在一个大方块中，因为每一行中的小方块数等于行数。因此，我们可以用每行小方块的个数的平方来计算。 　　

　　

　　老师：根据这个规则，第五个图形中的小正方形的数量是多少？第n个图形呢？ 　　

　　

　　生：52，n2。(板书5的正方形) 　　

　　

　　师：这是第二种方法体现的规律。 　　

　　

　　老师：第三种有点特殊。谁来告诉我们这件事？(在台上指指点点，侃侃而谈) 　　

　　

　　3:“1”表示第一个图形有1个小方块；“1 ^ 3”是在第一个图形的基础上增加三个小方块；“1 3 5”意味着第二个图形中增加了五个小方块. 　　

　　

　　老师：感谢这位同学，他提醒我们可以一层一层地观察这个(撕掉白纸层)。按照这个思路，同学们，第一个图形有几层？第二个数字呢？(2层，3层.) 　　

　　

　　老师：继续，第五个图形有几层，对应的加法公式是什么？ 　　

　　

　　生：第五个图形有五层，加法公式是1 3 5 7 9 11。(写在黑板上) 　　

　　

　　老师：学生回答的很对。第五个图形是在4乘4的图形上再加一层，把它变成一个边长为5的大正方形。(贴纸) 　　

　　

　　老师：好像每个大正方形都有对应的公式。对于具有不同视角的同一图表，可以写出不同的表示。 　　

　　

　　师：既然这里的乘法和加法表达式都表示小方块的个数，那么这两个表达式有什么关系呢？(平等)他们呢？(也相等) 　　

　　

　　老师：好，那我们用等号把它们连起来。 　　

　　

　　老师：接下来，请仔细观察这些公式。他们有什么特点？(先独立思考，小组成员之间互相讨论，3分钟) 　　

　　

　　老师：时间到了。哪个小组将报告你们讨论的结果？ 　　

　　

　　1:从1开始； 　　

　　

　　2:所有奇数相加在一起； 　　

　　

　　3:这些奇数是连续的； 　　

　　

　　生：有几个数加在一起，是几的平方。 　　

　　

　　老师：学生观察得很仔细，发现了这么多特点。如果把这些规律总结成一句话，会是什么？谁来试一试？ 　　

　　

　　健康：从1开始的几个连续奇数相加，和就是几的平方。. 　　

　　

　　老师：总结的很准确，很完整。请坐下。接下来，我们全班一起读这句话。 　　

　　

　　老师：咦，这些数字里隐藏着一个数字定律。我们可以用公式来表达。也就是形式上有数字。反过来，你有公式和形状等着它吗？ 　　

　　

　　（二）体会数中有形 　　

　　

　　老师：观察下列数字的特征。它的结果是什么？你能想象这个公式对应于哪个数字吗？ 　　

　　

出示题目：1+3+5+7+9+11 = ?

　　

生：这个算式的结果是36，对应的是边长为6的正方形，有6个数相加。

　　

……

　　

师：（课件显示边长为6的大正方形）很好，同学们都能迅速地在脑海里想象出图形的样子。

　　

师追问：刚才有学生说是边长为6的正方形，这个6可以怎么快速得到？

　　

生1：因为1加到12共有12个数，12个数中有一半偶数，一半奇数，所以应该有12的一半，即6个奇数，因此是6的平方。

　　

生2：6表示每行小正方形的个数，要求每行小正方形的个数，我们要看最后一层，这里最后一层有11个，而每行个数与行数相等，且重叠了1个小正方形，因此，我们可以用（11+1）除以2=6算出。

　　

师：大家听懂了吗？好，我们用这种方法试试这个题。

　　

出示题目：1+3+5+7+9+11+13+15 =

　　

师：算式的结果是多少？对应哪个图形呢？

　　

生：齐答（结果是82，对应的是8乘8的正方形。）

　　

师：接下来，你能自己写出一个类似的算式吗？先完成任务三，然后同桌相互交流一下。（1分钟）

　　

师：你觉得他们写得怎么样？谁能给我们解释解释？

　　

教师通过手机拍照，展示学生成果。同时点学生进行评价。

　　

（三）介绍正方形数

　　

师：原来，像这样的算式都有一个正方形与它对应，这就是数中有形。以后再遇到特殊的算式求和，我们可以借助图形进行分析思考，这便是数形结合的优越性。

　　

师：在这里，我们得到的小正方形数1，4，9，16……在数学中，我们把它称为平方数或正方形数。除此之外，到了中学我们还会继续研究三角形数、五边形数等等。

　　

三、巩固练习，加深理解

　　

师：通过刚才的探究，让我们感受到形中有数，数中有形，数形结合的好。接下来，我们利用所学的方法去解决其他的数与形问题。

　　

（一）基础练习

　　

1.请你根据例1的结论算一算。

　　

（1）1+3+5+7+9+11+13+15=（ ）

　　

（2）________________________=9的平方

　　

（3）1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=（ ）

　　

（4）1+3+5+……+49=（ ）

　　

师：请同学们在作业单上完成。

　　

师：谁来说一说，你是怎么做的？

　　

生1：第1题我是直接根据规律算出结果。

　　

生2：第2题我是逆向运用规律写的。

　　

生2：第3题，我把这个算式看成两部分，第一部分是7的平方，第二部分是6的平方。

　　

生3：第4题，我用（1+49）除以2得到25个数，所以是25的平方。

　　

师：看来，只要我们抓住算式特点，根据规律就能直接算出结果。

　　

（二）综合练习

　　

师：接下来，请同学们独立完成第2题。

　　

2.下面每个图中最外圈各有多少个小正方形。

　　

　　

照这样画下去，第5个图形最外圈有多少个小正方形？你能解释其中的道理吗？

　　

师：有没有同学愿意分享下你的思路？

　　

生1：从计算结果看，最外圈的小正方形个数就是n的8倍，第5个图形最外圈有40个小正方形。

　　

生2:我还可以根据规律往后继续写两个算式，从而计算出第5个图形最外圈小正方形的个数。

　　

师：其实老师还发现了一个规律，请看，52-32=(5-3)(5+3)……为什么会这样呢？这是一个重要的计算公式，老师在这里先卖个关子，等同学们进入初中后就会研究这个问题。

　　

（三）拓展练习

　　

3.选一选。

　　

2+4+6+8+10+12=（ ）

　　

A.6的平方

　　

B.6的平方+6

　　

C.7的平方

　　

想一想：上面这个算式对应了那个图形？

　　

师：谁来说说你是怎么做的？

　　

师：接着，想一想，这个算式对应那个图形呢？

　　

生：6乘7的长方形。

　　

师：你的空间想象真棒，还有其他同学也想到了吗？

　　

师：我们一起来看看吧。

　　

师：那算式中的这些数在那里？

　　

生：在这里（边指边说）

　　

师：哦，原来这些数是在这藏着的。

　　

四、课堂小结，课后延伸

　　

师：同学们，通过今天的学习，你有哪些收获呢？

　　

生1：我知道了，从1开始的几个连续奇数相加，和就是几的平方。

　　

生2：形中有数，数中有形，数形结合可以帮助我们解决问题。

　　

师：很好，只要把数和形紧密的结合起来，解决问题会变得更简单，数学也会变得更加有趣。

　　

师：今天的课就上到这里，同学们下课。