债券研究中久期是最重要的。本期我们来看看贴现债券的久期图是怎么推导出来的。
01定义
折价债券
贴现债券是指交易价格低于面值的债券。
久期
债券的久期描述了债券价格的变化对收益率(即利率)变化的敏感性。麦考利期限是以加权平均形式计算的债券平均到期时间。
这次我们通过几个债券的比较，讨论贴现债券的麦考利久期随到期日变化的问题。
02计算
T是从最后一个付息日到交割日的天数，T是一个付息期的总天数，N是从最后一个付息日到到期日的债券总数，PMT是每期支付的利息，R是市场贴现率，或到期收益率，FV是债券的未来价值，即面值，C是票面利率。
因此，公式中的分母是当期债券的全价(用PVFull表示)，公式中的括号代表每个折现现金流量法期间的现值与当期债券价格的比值，即权重。(1-t/T)，(2-T/T)……(N-T/T)代表收到每笔现金流所需的时间。公式是微积分和代数得到的久期公式。详细推导过程见文末。
为了便于分析债券到期日对久期的影响，假设t/T=0，即只考虑每个付息日的久期。规则
03零息债券、永久债券和溢价债券的期限1
注：下面讨论的各种债券麦考利久期随到期时间的变化是基于以下假设：1)在t/t=0的前提下，不考虑应计利息的影响；2)债券是没有权利的普通债券；3)债券持有到期。
零息债券
对于零息债券，c=0，所以MacDur=N，所以麦考利久期等于债券的到期日。如下图所示，是一条斜率为1的直线。图一。
永续债券
对于无权利的永续债券，不考虑提前赎回，那么n趋于无穷大，所以MacDur=(1 r)/r .下图1。
政府有奖债券
对于溢价债券，其票面利率C大于市场利率R，即C & gt因此，根据公式4
因为
正，所以MacDur <& lt
麦考利的溢价债券的久期小于零息债券。因此，对于溢价债券，其久期与到期日的关系曲线是一条低于永续债券和零息债券的曲线，如下图2所示。
04贴现债券的期限1
现在我们来看看贴现债券的久期。对于贴现债券，其票面利率C小于市场利率R，即C & ltR.
strong>折价债券的利息趋于无穷小从定性角度考虑，我们先来考虑一种极端的情况，当这个折价债券的利息十分小，几乎接近于0，那么这个折价债券趋向于一个零息债券，也就是说，此时折价债券的是趋向于零息债券的一条曲线；但是另一方面，折价债券相对于零息债券从开始持有至到期仍需定期支付，因此在同样的一个到期日下，折价债券的麦考利久期小于零息债券。所以折价债券的曲线是在零息债券呈现的直线的下方。
折价债券的到期日趋于无穷大
考虑另一种极端情况，当折价债券的到期日（N）趋近于无穷大的时候，此时折价债券趋向于一个永续债券，也就是说，当N大到一定程度，折价债券是趋向于永续债券的一条近似直线；
利用公式④:
我们先来看一下
的大小。由于N不小于0，所以分母永远是正数；由于折价债券c＜r,因此分子上的中括号部分［N×(c－r)］为负数，因此当N达到某一程度时，分子1＋r＋［N×(c－r)］为负数，所以
为负数。由此可知当N达到某一程度时，
即折价债券的久期将位于永续债券的上方。
根据上述分析，可以知道折价债券久期与到期日之间的关系曲线是一条先上升后下降但最终仍位于永续债券直线的上方的一条曲线，具体形式如下图3。
折价债券与永续债券的交点
当
时，
此时折价债券与永续债券的久期相等。
即
。
(1)普通零息债券的麦考利久期等于债券持有到期日；
(2)永续债券的麦考利久期=(1+r)/r，是一条水平的直线；
(3)溢价债券的麦考利久期与到期日的关系：随着持有至到期日的增加，麦考利久期上升，最终趋向于永续债券的久期，位于其水平线的下方；
(4) 折价债券的的麦考利久期与到期日的关系：随着持有至到期日的增加，麦考利久期先上升后下降，最后趋向于永续债券的久期，位于其水平线的上方。
05 附页
关于公式③的推导如下：（为简化计算，在此假设：P=PVFull,FV=1,则PMT=c）
因此：
