波 wave 　　

　　

　　在介质中运动的扰动。特殊情况还包括真空中的扰动。扰动是指在没有波的情况下，一个物理量与初始值的偏差；移动的是这种干扰，而不是媒介本身。 　　

　　

　　水波 　　

　　

　　波浪是自然界中一种非常普遍的现象，经常以各种形式出现。 　　

　　

　　生活中有水波，没有水的整体流动，只是水的一些扰动在动。扰动通常是水面的波动；海洋中存在密度分层的区域会产生深水波动，即深水波。 　　

　　

　　经常有声波和光波。 　　

　　

　　普通声波是在大范围空气中运动的小面积空气的密度变化(密度变化相当于压力变化)。人的嘴会扰乱静态(或平衡)空气。这种干扰在空气中传播到人耳，被人耳感知为声音。 　　

　　

　　声波 　　

　　

　　光波是在介质(包括真空)中运动的电场和磁场强度，这里的扰动与原始量相比为零。这种被人眼感知的电磁波，成为人类极其珍视的视觉能力的基础。 　　

　　

　　光波 　　

　　

　　然而，并不是所有的电磁波都是光波。光波只是电磁波的一部分，或者说是一小段。所谓短节，涉及到波的主要性质之一的频率。电磁波的频率范围很广，人眼只能感知到很小一段，表现为光，包括红、橙、黄、绿、蓝、紫等各种颜色的光。 　　

　　

　　其他频率的光人眼是看不到的，但都非常有用，而且大部分都是人们熟知的，包括频率比光波低的无线电波，频率比光波高的X射线等等。 　　

　　

　　 X射线广泛应用于人体医学检查。 　　

　　

　　声波的频率范围也超出了人耳能听到的频率范围。低于普通声音的频率是次声，高于普通声音的频率是超声波。声波也可以出现在液体或固体中。地球上经常出现的地震波也可以看作是声波。 　　

　　

　　地震波可以用特殊仪器描绘出来。 　　

　　

　　此外，在等离子体中还可以激发出等离子体电子波、等离子体离子波、磁声波等。广义相对论预言了引力波。量子力学论证了有质量的粒子也具有波的性质，即物质波。 　　

　　

　　波的数学表达式 　　

　　

　　在介质中运动的一维扰动可以用图1来表示。 　　

　　

　　 　　

　　

　　假设扰动在运动过程中不变形，运动速率V不变。图中横坐标为直线距离或直线位置R，小峰代表初始时刻在起始点的扰动，数学上用一个函数表示。这样，F的形状在任何地方都保持不变。 　　

　　

　　三个子图中的每一个都代表不同的时刻。当扰动移动到该位置时，很容易看到。如果它在任何时候被设置T & gt0，扰动移动到R，那么。所以在任意时刻t和对应的位置r，移动函数应该是t=0时扰动的位置，不管这里是什么。 　　

　　

　　也就是说，在数学上可以用它来表示波在正R方向以速率v传播，如果波在负R方向传播，可以用它来表示。波的相位被称为，有时在相位被称为之前，它被归一化(与某个值相比较)。 　　

　　

　　三维波 　　

　　

　　实际波一般向各个方向传播，是散射的三维波。 　　

　　

　　简单的情况是一个点波源向四面八方发射波。因为沿各边的传播速度都是常数V，所以来自各边的散射波将同时到达以点波源为中心的球面上的不同点。 　　

　　

　　这里可以引用波前的概念。波前是指空间中的一个面，该面上多个点的扰动的相位(r-vt)同时具有相同的值。在上述情况下，点波源的波阵面是一个以速率v膨胀的球面，这种波称为球面波。另外两种简单的空间波是具有平面波阵面的平面波和具有柱面波阵面的柱面波。 　　

　　

　　这三个波的示意图如图2所示。 　　

　　

　　 　　

　　

　　在传播过程中，球面波的波前 　　

　　

　　图1显示了一个移动的孤立扰动，它是一个移动的扰动脉冲。这种干扰实际上存在于，和 　　

还可能出现一串的扰动脉冲。但实际中更多出现在有限空间和有限时间内连续变化的扰动，连续变化又可以是周期性的。

　　

一种简单理想的周期波是F(r±vt)为或的简谐波。这种波在空间无头无尾，时间上无始无终，又在空间和时间上无限地重复，所以是理想波。

　　

但许多实际波在不同程度上逼近它，它有理论上众多这种波之和可表达任何波形波的意义，因此这种波是经常提到的一种波。

　　

简谐波在空间以波长λ重复，时间上以周期重复T=λ/v。1/T=v/λ=f，称为频率。

　　

光波的颜色便决定于频率。简谐波的一个重要特征是频率单一，即是单色波。A称幅度或振幅，2π/λ(r±vt)=(kr±ωt)称相位，零时刻的相位称初相位，k=2π/λ称波数，ω=2πf称圆频率。方向平行于波的传播方向、值为k的矢量k波称波矢：kr=kr。简谐波的正弦形式和余弦形式只差一个初相位π/2，没有实质性差别。

　　

线性波和非线性波

　　

波是在介质中移动着的某物理量的扰动，而扰动指这个物理量对它静态（无波）时的值小偏离。

　　

这里的“小”应当是有度量的，要看波源发射波时“使劲”的大小。

　　

实验发现，不同的“小”度会导致波的性质有所不同。对扰动的“小”度可划分一个界线，这样对波也可划分一个界线。

　　

扰动可是足够小，以致它的（数学的）二次项加所有更高项之和，与它的一次项相比较可忽略不计。相反的情况是比起来不能忽略。

　　

扰动足够小的波叫线性波，扰动不够小的波叫非线性波。

　　

把波分成线性和非线性，实际意义在于，实际上经常遇到的多种波（不是所有的波），如一般的水波、声波、光波等都可用数学上比较简单、容易运算的线性波来描述。

　　

对波的了解，首先也是通过线性波的概念进行的。迄今许多实际的波可看作线性波，可用线性波的理论来解释和预期它们的行为。

　　

在对许多常见波取得了一定认识之后，对其他实际波进行探讨发现不少是非线性波。

　　

声音是线性波，而飞机以超声速飞行所形成的冲击波或轰声是非线性波。

　　

强电磁波在某些晶体内会产生倍频、参量振荡、参量放大等现象，这不是线性电磁波所能做到的。

　　

近年引入备受重视的孤立子，是19世纪就注意到的非线性水波的延伸。

　　

以下重点讨论线性波。

　　

纵波和横波

　　

波函数F表示物理量的扰动，它可是标量，也可是矢量。温度波的物理量扰动是标量，称标量波；电磁波的物理量扰动是矢量，称矢量波。

　　

当波这个物理量同它的传播方向平行时，波称纵波，像流体中的声波；当波这个物理量同它的传播方向垂直时，波称横波，像表面水波。

　　

有些情况纵波和横波是共存的，却是分离的，即纵波和横波的传播速度不一样，两波一前一后，像固体中的两种声波。

　　

波的一般性质

　　

波具有一些特性的性质，下面只谈线性波。

　　

叠加性

　　

这是波的重要属性。

　　

如有两列以上同类波在空间相遇，在共存的空间内分波相互并不影响对方的性质，总的波只是分波的矢量和，即各分波相加时不仅要考虑振幅，还要考虑相位。众波分开后仍保持各自的性质不变。

　　

数学表达式是，波方程的几个解之和仍是这个方程的解。这个原理称波的叠加原理。

　　

惠更斯原理

　　

这个原理给出波的传播规律。

　　

从波源发出的波，某一时刻到达波阵面，下一时刻到达的新波阵面可确定如下：原波阵面的每个面元将分别成为发射球面波的次波源，所有这些次波在某下一个时刻的包络面就是这下个时刻全波的新波阵面。由此可确定波是在传播的。

　　

能够证明，波只会向一方（前方）传播，而不会向后传播。

　　

惠更斯原理限于标量波，在均匀、各向同性的介质内的示意图见图3。

　　

　　

干涉

　　

两列或更多列同类波相互叠加时，如果叠加的波能满足某些条件，则这时会形成振幅相互加强或相互减弱现象，产生明暗相间的条纹或图形，这种现象称干涉，所形成的条纹或图形称干涉条纹或干涉图形。

　　

波列相互加强时称相长干涉，相互减弱时称相消干涉。图4是显示一组干涉条纹的例子。

　　

　　

干涉现象可用来比较和测量长度，其精度可达。如果干涉条件得到严格满足，干涉图形将十分清晰；如果干涉条件只是近似满足，干涉图形的清晰度就不同。作为图形清晰度的定量表征，定义了“条纹可见度”：

　　

和分别是干涉场中一点附近，亮纹的最大强度和暗纹的最小强度。

　　

波的干涉要满足哪些条件，以两列同类波叠加为例。这两列波应当传播方向一致，振幅一致，偏振面一致，还应当频率一致、相位相对固定。但实际上这些条件很难完全满足，只有两列理想的简谐波才能做到，而实际波只能部分满足。

　　

关于多列同类波是否满足干涉条件的概念，对于其中单列波来讲，常用波的“相干性”这个概念来描述。如果每列波是完全相干的，两列或多列这样的波相互叠加时便会满足干涉条件。同干涉条件会有不同的满足度一样，单列波可是完全相干的、部分相干的，以至非相干的。

　　

光波最早被人们成功地产生了干涉现象，而光波的种种干涉现象又广泛而有效地得到利用。同时，光波的相干性理论亦得到深入发展，并适用于其他类型的波。后来还发明了相干性突进式提高的实用光波（激光）。

　　

经典的单色光源，由于源于自发辐射，所发光并不是单频率的，而是有一定的线宽；同时光源的尺寸是有限大的，实际上由多点源拼成。

　　

经典的单色只是“准”单色光，可看作带有随机的相位调制和振幅起伏的连续波，又可看作是一系列前后相继的波群，各个波群的长短、频率和初始的相位都是随机的。

　　

由于光源是由多点组成，所发光的波矢方向是不确定的。这样相干可分为时间相干和空间相干。

　　

时间相干指传播的是单列连续波，某点上的相位在某一时刻有一个已知值，此后随时间的前进在这一点的可预期的值是，随时间t的前进，相位将变得越来越不确定，相应地这时有不同长短的“相干时间”。

　　

空间相干指某个时间在波传播方向的垂直平面上某点的相位在某时刻是已知的，这点附近另一任意点的相位在同一时刻将是随着后一点对前一点距离r的增加而变得越来越不确定。这样类似地有参量“相干长度”或“相干面积”。

　　

早期只具有发射部分相干光的光源。为了产生清晰地干涉现象，采取了分别属于分割波阵面和分割振幅的两大类措施。

　　

通过表面看来与相干性无关的基础研究，1960年发明了激光，导致光的自然准直和同相，大大提高了波的时间相干性和空间相干性。结果是激光的方向性强、亮度大、单色性强。

　　

衍射和散射

　　

波在传播中遇到不透明大障碍物的孔隙或部分透明区，或遇到有限大的不透明或部分透明障碍物时，会偏离直线传播。这时入射的波阵面受限制或部分改变。

　　

用惠更斯原理分析，受到障碍物的干扰，新形成的波阵面不再是均匀的，而会形成相应的明暗图案。当限制波阵面的是一维、二维的孔隙或部分透明区或只是三维的阵列时，这种现象称衍射。所投影的二维图案称衍射图案。这时障碍物称衍射屏，而衍射图案称显示在接受屏上。

　　

当障碍物是三维或二维的有限整体时，有关现象常称散射。这时所关心的常是扰动（振幅、强度之类）经散射后的三维分布，熟知的例子是用雷达追踪飞机、用声呐探寻潜艇。

　　

对光波也有所谓瑞利散射，它说明了蓝天的蓝。

　　

衍射或散射现象同干涉现象一样亦常有混杂，如称为“衍射光栅”的作用实际上是衍射同干涉的混合。

　　

衍射一般分菲涅尔和夫琅禾费两类，区别在于波源和接受屏都离居中的衍射屏较近（菲涅尔衍射）或甚远（夫琅禾费衍射），近、远的确切含义同衍射体的截面和波长有关。

　　

图5例示一个屏上圆孔的夫琅禾费衍射图案。

　　

图5 夫琅禾费衍射

　　

能量

　　

所有的波都携带能量。

　　

水面波把水面的上下振动传给波阵面前方原来是静止的水面，这意味着波带有动能和势能。

　　

波所携带的能量常用波内单位体积所具有的能量来计量，叫波的能量密度。

　　

又常用在单位时间内通过垂直于波矢的单位面积所传递的能量大量标志，叫波的强度或能流密度，它是波的能量密度和波的传播速度的乘积。

　　

电磁波的坡印廷矢量便是能流密度矢量。

　　

波的传播规律

　　

波在不同的环境中，传播情况不同。惠更斯原理可演示波的传播规律，它着重波动特性，但只适用于标量波。

　　

此外，还有另一个更早些的原理，称费马原理，这一原理可同样推算波的一些传播规律，虽然这个原理没有凸显波动性质。从费马原理很容易推论出波的一个基本行为，即在均匀和各向同性介质中波沿直线移动。

　　

费马原理以及其他一些具体的波传播的规律简列如下：

　　

费马原理

　　

波从一种介质的一点传播至从同一介质或另一介质的另一点时所循行的路径，其波程为极值。波程指几何路程与介质的折射率的乘积，极值指极小值、极大值或稳定值。相对折射率指两种介质中波的相速度之比，绝对折射率指波在真空中的相速度与介质中相速度之比。

　　

反射和折射

　　

波在均匀介质中沿直线传播，但遇到另一种均匀介质的界面时，一般说波的一部分将反射回第一介质（称反射波），波的另一部分则将透过界面折入第二介质（称折射波）。

　　

波的反射、折射的方向将不同于波的原入射方向，其中反射角恒等于入射角，而折射角的大小依赖于两种介质的相对折射率。

　　

当波是矢量波时，反射和折射的情况可能要复杂些。以固体中的声波为例，当固体中声波从一种固体投射到另一种固体时，在第一介质中一个入射波将被反射出两个波，其中一个是纵波，一个是横波。

　　

进入第二介质时也将折射出两个波。两种反射波的反射角和两种折射波的折射角都有按折射率之比的规律。

　　

行波和驻波

　　

提起波时一般指不断前进的波，单晶特殊情况也可建立起局限在有限空间内的似乎不移动的波。前者称为行波，后者称为驻波。

　　

实际上驻波是由行波建成的。两列振幅和频率都相同，而传播方向相反的同类行波适当叠加起来就形成驻波。常用的方法是让一列入射波在介质边界经反射产生满足条件的反向波，叠加到原入射波。

　　

如让简谐波在一个细长腔内两端之间来回反射，腔的长度是半波长的整数倍，腔端每个界面在反射时产生π相位差。驻波中振幅恒为零的点称波节，相邻波节相距半个波长，两个波节间的振幅按正弦形分布。振幅最大的点称波腹。

　　

管、弦乐器便利用了声驻波。声驻波还导出了一个重要的概念，即频率的分立，对量子力学的创立曾起了启发作用。

　　

色散和群速度

　　

在一些介质中，简谐波的相速度是个常数。如真空中不论什么颜色的光，相速度总是恒量，等于299792458米/秒。

　　

但另一些介质中相速度（包括光的相速度）会因频率不同而异，这种现象称为色散或散。波的色散由介质的性质决定，因此常把介质分为色散的或非色散的。

　　

介质会导致波的色散，一个原因是它的尺寸有限，这种色散叫位形色散。如在尺寸比波长大得多的固体块内，弹性波的相速度是常数，但沿同材料、直径同波长可比拟的棒内传播的弹性波便是色散的。

　　

介质是色散的另一个原因在于介质内部某些微观结构的作用。如有些介质内部的带电粒子（如电子），受入射可见光的电场激励而振动，从而反作用于这个光，导致它的色散。正由于水的色散性，雨后才有可能映出彩虹。

　　

实际存在的波不是严格的简谐波，因此它不是单频的。

　　

如果介质是色散的，则在这个介质中传播的波，由于各个不同频率的成分移动快慢不一样，会“扩散”开来。但假若这个实际波是由一群频率差别不大的简谐波组成，则在相当长的传播过程中，实际波将多少维持成一个整体，以一个固定的速度移动。这个整体的波群称泡包，它的传播速度称群速度。

　　

群速度的值比波包中心相速度的值要小，二者之差是中心波长乘中心相速度随波长的变化率。群速度是波包能量的传播速率，也是波包所表达信号的传播速率。

　　

衰减

　　

实际的波在传播过程中不可能维持它的振幅不变，除非它在真空中传播的是平面波。

　　

在介质中传播时，波所带的能量总会因某种机理或快或慢地转换成热能或其他形式的能量，波从而不断衰减。这些机理常与波同介质内部某些微观结构的相互作用有关。

　　

有时可人为地把其他形式的能量连续供给传播中的某些波，如微波行波管中的慢电磁波或压电半导体内的超声波，这时这些波不仅不减弱，还可能增强，但这是极特殊情况。普遍情况是介质中传播的波因能量被吸收而逐渐衰减。

　　

与此同时，波的能量还可能被分散开来，转到其他的一些方向，如当平面波遇上一个障碍物时在原传播方向上的波显得额外衰减了。

　　

因此，波的衰减可有吸收和散射两种起源。波的被吸收起源于波同介质内部某些微观结构的相互作用。

　　

介质的色散性也常起源于介质微观结构的作用。这两种作用其实常是一致的。波的衰减程度也常随频率而异。这样研究波的吸收机理或色散原理是研究某些介质结构及其行为的一项重要手段。有一种称作弛豫现象的是后者的一大类别。

　　

复杂介质中波的传播

　　

上述多指简单介质中波的传播情况。简单主要指介质是均匀的（宏观看）和各向同性的。不少实际的介质要复杂些。

　　

有些介质是各向同性的但不均匀。由于温度、盐度、随深度而增长的压强等因素，海水可是分层的。这时声波的传播速度随层而异，结果是声波的传播路径不再是直线，导致声源前方的海洋中有可能出现无声波的区域。在地球上空，大气的情况同样是很复杂的。

　　

介质有可能是均匀但各向异性的。单晶是这类介质。一束光射入像方解石的单轴晶体时，会分裂成两束光：一束光遵守普通的折射定律称寻常光，另一束光不遵守的称非寻常光。

　　

寻常光和非寻常光的偏振面是相互垂直的，这种现象叫双折射。同它相类似有所谓锥形折射现象。

　　

这发生在光沿着晶体的光轴射入像霰石的双轴晶体时，当细束光垂直射入这样一个平块晶体会因锥形折射在晶体的背面出射成一圈光。对于声波同样能观察到这样的现象。

　　

对某些种类的介质，有时还可施加外场以影响和控制介质内部的波传播。

　　

M.法拉第早在一百多年前便发现，对高折射率的各向同性材料施加强磁场，可旋转材料中传播的光的偏振面。介质的运动也会影响波的传播。

　　

波的粒子性

　　

波以它的叠加、干涉、衍射、能量在空间和时间上连续铺展等特征而在通常概念中区别于具有集中质量的粒子。

　　

但20世纪初期，一些实验和理论表明，已确定为波的光在和物质作用时却会表现出粒子的性质。

　　

黑体辐射、光电效应、X射线的自由电子散射（康普顿效应）等实验现象中，不把光看作粒子便无法解释这些现象。

　　

如光电效应中用波的概念无法解释为什么光电子的最大动能和入射光的强度无关系，却和光的频率有关，为什么光电子会在光入射的刹那间从金属表面射出等。

　　

上述实验情况下，光的能量是不连续的，是量子化的，也就是说光是量子，由此称为光子。它的能量是hv，h是普朗克常数，v是光的频率。

　　

同光类似，一般称为声波的声，当波长很短时也明显表现为粒子性，称为声子。不过声子只存在于物质中，是物质振动效应的整体效应，与光子是不同类型的。

　　

因此，波又有粒子性，在碰撞时遵守能量和动量守恒定律。这种情况一般在波与物质相互作用时表现出来，另一方面，静止质量不为零的微观粒子，在传播时也会具有波的特性。这样大为扩大了波的范围。

　　

波动方程

　　

波动方程以数学语言表达波的运动特征，给出波随空间坐标和时间的变化关系。通过对带有特定的边界条件的波动方程求解，能够深入刻画波的传播规律，认识波的本质。波动方程可分为经典和量子力学的两类。

　　

经典的波动方程

　　

是线性二次偏微分方程，一般形式是：

　　

　　

式中v是具有速度量纲的参量，F(r,t)即前面的波函数；r是空间坐标，t是时间，是拉普拉斯算符，根据需要可用不同的坐标表示。对于简单的问题，波动方程可以简化。

　　

如对于均匀各向同性的介质中的点波源，波函数只同矢径有关，这时波动方程可以简化成：

　　

　　

弦上的波动方程是最简单的一类：

　　

　　

是质点位移。流体中传播的平面声波的波动方程也具有相同的形式，但ξ的方向不同：

　　

　　

电磁波的波动方程可写为：

　　

　　

E和H分别是电场强度和磁场强度；v是相速，真空中v=c是常数，介质中v=c/n，n是介质的折射率。

　　

量子力学波动方程

　　

与经典的波不同，描述微观粒子的运动规律的波是概率波。描述概率波的量子力学波动方程又称薛定谔方程，非相对论的薛定谔方程的一般形式是：

　　

　　

式中是普朗克常数h除以2π，m是粒子质量，V是势函数，。

　　

　　

摘自：《中国大百科全书（第2版）》第2册，中国大百科全书出版社，2009年