下面是欧几里得的一般证明。
假设根号2是有理数，那么一定有根号2=p/q(其中p和q是整数，p和q的最大公约数是1)。
根号2=p/q，两边平方后，换算成：p^2=2q^2.
因为p/q是最简单的分数，所以p和q之间一定有奇数，因为p ^ 2是q ^ 2的两倍，所以p是偶数，q只能是奇数。
因为p是偶数，所以可以求出整数k，使得p=2k。所以p^2=4k^2，所以4k^2=2q^2，q^2=2k^2，所以q也一定是偶数。那么P和Q都是偶数，就有矛盾了。所以假设不成立，根号2不是有理数。
