在自然界中，有许多波动现象。它是物质运动的一种常见形式，如声波、水波等。后来物理学家总结了这样的现象，把一个物理量的扰动或振动在空间逐点传递时形成的运动形式称为波。
各种波的共同特点是周期性。因此，数学家们希望用数学方法来解释自然界中的各种波动现象，其中，最著名的是欧拉、伯努利和达朗贝尔关于乐器中琴弦振动的争论。今天，我们来看看数学中的弦振动。
弦振动的研究有着悠久的历史。当时欧洲数学家在欣赏小提琴演奏时，发现小提琴手拿着弓在弦上来回拉动，弓只接触到弦的一小部分。按照常理，应该只是引起这一小段弦的振动，但实际上，振动总是会波及到整条弦。
数学家发现这一现象后，希望用数学方法研究弦振动传播的这一现象。但是一开始数学家不知道应该用什么样的方程来表达这样的弦振动现象。这后来引起了数学家之间的争论。
17世纪，牛顿和莱布尼茨独立提出了微积分。随着微积分的发展，微分方程逐渐成为数学的一个重要分支。
微分方程是自变量、未知函数及其导数之间的关系。一般来说，客观世界中的事件之间的关系是服从一定的客观规律的，这种关系用数学语言来表达，也就是抽象为微分方程。一旦得到了它的解或研究清楚了它的动态行为，变量之间的规律就清楚了。
随着微分方程的发展，数学家们开始尝试用微分方程来表示弦的振动，即把弦分成几个微小的段，每一段抽象地看成一个质点，这样就可以把弦看成是“小珠子的弦”，即弦可以看成是由离散的、相等的、等间距的重物通过失重的软弹性绳相互连接而成。
为了处理连续的弦，允许砝码的数量变得无限大，而每个砝码的大小和质量都减小，这样当“珠子”的数量增加时，总质量就接近连续弦的质量。然后就可以用微积分来分析解决了。
例如，在约翰伯努利1727年关于弦振动的论文中，约翰考虑假设一根失重的弹性弦，弦上有N个等质量等间距的粒子。当放置六个质点时，可以得到弦的简谐振动方程：
约翰的简谐振动方程证明了弦的形状在任何时刻都必须是正弦的。后来欧拉、达朗贝尔和约翰的儿子丹尼尔都推导出不同形式的弦振动微分方程。
但这只是弦振动的一种理想化形式，因为弦不可能没有重量和弹性。所以后来数学家开始考虑惯性力引起弹性振动。
因为不同弦的弹性不一样，即使同样的弦在不同的情况下也不一样，数学家们想出了各种情况下的波动方程。
欧拉和达朗贝尔沿袭了他们之间的思路，用微分方程表示弦振动的波动方程。但是，丹尼尔给出了弦振动问题完全不同形式的解，即函数的级数展开。数列是指用加号依次将数列的项连接起来的函数。级数是研究函数的重要工具，在理论和实际应用中都有重要的作用。
不同的数学方法导致了丹尼尔、欧拉和达朗贝尔关于弦振动允许解的争论，后来的拉格朗日和拉普拉斯也参与了这场争论。
这就是关于弦振动的争论的起源。
1733年，丹尼尔在自己的研究论文中明确提出振弦可以有更高的振动模式。后来在1741-1743年的许多论文中，丹尼尔阐述了自己的观点“简谐振动(基音)和叠加振动(高次谐波)可以同时存在”，但只是从物理的角度，而不是从数学的角度。
1753年，丹尼尔再次重申了“振弦的许多模式(简单的和叠加的)可以同时存在”的观点。他认为这种振动是所有可能的一阶、二阶和三阶简谐振动的叠加。
弦在宏下振动
丹尼尔试图表达弦振动中所有可能的初始曲线。
成为正弦级数来进行描述。他认为：任何复杂的振动都可以分解成一系列谐振动之和. 这一事实用数学语言来描述即为：
丹尼尔的这个观点是非常重要的，因为他首次提出了将问题的解表示为三角级数的形式，这为将一个函数展为傅里叶级数的纯数学问题奠定了物理基础，促进了分析学的发展。
欧拉赞同丹尼尔的关于许多模式能够同时存在，使得一个振动中的弦能发出许多谐音的观点，但是又和达朗贝尔一起反对丹尼尔关于在弦振动中全部可能的初始曲线能表示成为正弦级数的主张。
1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式，他将偏导数的概念引进，作为对弦振动的数学描述。
这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科，自此之后微分方程中未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。
而欧拉在读完达朗贝尔的论文之后，对达朗贝尔的结论又并不认同，他认为弦可以拉动，使得其起始形狀在不同的区间上可以由不同的解析表示式所描述。也就是说，欧拉认为他的初始函数在不同的区间可以有着不同的解析表示式。
欧拉称此种函数为不连续函数，用通俗的话讲就是，虽然是连续函数，但在相接的地方却是不可以微分的。
欧拉在他的1749年的基本论文中指出：振动弦的一切可能的运动， 无论弦的形状怎样， 关于时间都是周期的,也就是说,该周期是我们现在所谓的基本周期。 他也认识到周期为基本周期的一半、 三分之一等等的单个的模式能够作为振动的图像出现。
所以在欧拉的不连续函数的观念下，他自然不会认同丹尼尔的主张，他认为他自己的振动弦的解包括了所有可能的函数，特別是他所谓的不连续函数，连续的正弦函数怎麼可能叠加产生不连续函数，另外一方面，正弦函数是奇函数，因此，显然无法产生所有的任意函数，特別是如果起始曲线有一部份是靜止的。但是，欧拉倒是愿意承认丹尼尔的解是他的解的一部份。
丹尼尔对于欧拉的主张也提出了反驳，丹尼尔认为：既然有无穷多个 an 可供选择，因此：每一個函数当然均可用一三角级数表出，自然而然，它的解所涵盖的范围比欧拉广。
丹尼尔的这种非数学方式的论争，当然是无法使人信服，所以后来丹尼尔也认识到了这个问题。
丹尼尔·伯努利
三个人之间各执一词，相互争论了十几年，后来拉格朗日以及拉普拉斯也加入了争论，拉格朗日其实在很多事情上重复了欧拉他们的工工作，他也否认三角级数能够示任一解析函数， 更不用说更加任意的函数了。
概括而言，丹尼尔认为可以通过正弦级数来进行描述弦振动；达朗贝尔想通过偏微分方程的方式解决弦振动问题；而欧拉则提出了不连续函数的概念。
其实他们之间的观念并非全都正确，但是也并没有完全错误，归结而来，其实就是用三角级数来表示一个任意函数这一重要问题，而这个问题的解决则是傅立叶来完成的。
傅立叶提出的傅立叶级数与拉格朗日的观点相违背，傅立叶认为不论定义在（π、π）上的函数 f(x) 是如何任意，它一定可以用一個无穷三角级数表示出來。这与拉格朗日在处理弦振动问题时候否定三角级数的观点相矛盾， 所以拉格朗日认为傅立叶的研究并不严谨。
后来，傅立叶经过多年的努力，在1822年提交了著名的《热的解析理论》，它标志着傅立叶级数和傅立叶积分的证实诞生。
傅立叶在这篇文章中正式提出，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的）。
傅立叶级数的提出从根本上动摇了旧的关于函数概念的传统思想，1837年，狄利克雷给出了与我们现在所熟知的函数定义非常相近的函数的如下定义(区间一般是指两个实数之间的所有实数):
如果对于给定区间上的每一个x值，都有唯一的y值与它对应,那么y是x的函数。
可以说傅立叶级数的提出和新函数概念的提出，彻底解决了弦振动问题，只要是自然界的周期运动现象，都可以通过傅立叶级数来表示。简单来说，把一个周期运动分解为简谐振动的迭加，反映在数学上，是把一个周期函数f(t)表示为各类正弦函数的迭加。
傅立叶级数
傅立叶函数提出来以后，再回头来看三人的争论，达朗贝尔、丹尼尔与欧拉之间的争论问题的实质在于能够用正弦函数、或更进一步地，用傅立叶级数表示函数类的宽窄。他们都只是触及了这个问题的某一方面。
弦振动问题的解决也说明了数学家对于函数的进一步完善以及函数概念的进一步规范，促进了数学的大发展。
而欧拉、伯努利、达朗贝尔等人对于弦振动问题的探讨，最终促成了处理数学物理问题的有力工具和具有普遍意义的方法——傅立叶级数的诞生， 从而开创傅立叶分析这一近代数学的重要分支。在十九至二十世纪的基础数学研究领域占了极其重要的地位， 同时也为现代信号分析奠定了基础。
傅立叶
进入 20 世纪以后， 这傅立叶级数更成为全世界数学家， 物理学家以及工程师之间的通用语言，它的巨大潜力和应用价值可见一斑。
在思考中提高自己的学问，在探讨中迸发新的花火，在争论中催生新的思想，在辩驳中完善自己的理论，这就是科学家之间论战的意义。
