摘 要： 　　

　　

　　算法货币是一种由计算机代码控制的加密货币(即智能合约)，旨在动态降低其价格相对于特定资产(如美元)的波动性。但随着近年来算法稳定币的快速发展，其波动性远远超出了人们的预期。本文深入研究算法稳定币的核心，回答两个基本问题，即：算法稳定币在设计上是否具有波动性？他们能在实践中保持稳定吗？具体来说，首先，我们深入研究了三种流行的算法stable coins，并建立了一个建模框架来形式化它们的核心协议。通过正式验证，该框架可以识别稳定货币可能变得不稳定的临界条件。其次，对基差现金的实际交易过程进行系统的实证分析，将理论可能性与市场观察联系起来。最后，我们还对算法稳定货币未来发展的设计决策提出了一些建议。 　　

　　

　　 　　

　　

　　介绍 　　

　　

　　众所周知，加密货币的价格具有很大的波动性，币价经常快速波动。于是，将加密的数字货币价值与外部资产(如美元)挂钩的稳定货币应运而生。与不稳定币(如比特币19、以太坊24)相比，稳定币试图利用各种机制来降低其锚定资产的价格波动。其中，最常见的是抵押资产背书的稳定货币，即其价值由商品、法币或其他加密货币等外部资产作为抵押来支撑。例如，USDC稳定的货币5与美元挂钩。与背书稳定型货币不同，算法稳定型货币通常没有其他资产支持。但它可以通过算法稳定价格，不会降低过度的资金效率，所以近年来越来越受到关注。一般来说，算法稳定货币是通过算法控制一般货币的供给来实现物价稳定，类似于央行发行和回购货币。本文主要关注算法稳定币，以下简称稳定币(背书稳定币不是本文主要研究对象)。 　　

　　

　　假设有一种算法稳定的货币锚定于美元，在这种货币中，可以设计一种可以动态调整其供给的智能合约，以降低其自身的价格波动。先简单解释一下这个算法的逻辑，再详细讨论更深入的内容。当稳定货币的价格超过1美元时，智能合约“产生”并向市场投放更多的pass卡。这样，稳定的货币供给增加，价格降低，逐渐接近锚价；当稳定货币的价格低于一美元时，就会减少货币供应量，逐渐将稳定货币的价格拉回一美元。在实际操作中，稳定货币模型的不同算法会基于上述思路使用不同的模型来控制自己稳定货币的价格。虽然有许多有趣的研究试图创建这样的模型，但没有多少工作来研究它们是否真的有效。 　　

　　

　　本文从理论和实践两方面对算法稳定货币的波动性进行了基本分析，并试图回答以下两个问题：1 .算法稳定货币在设计上有波动性吗？2.稳定货币这个算法在实践中能保持其稳定性吗？ 　　

　　

　　本文的目的是为算法稳定币的设计和实现提供一个更全面的解释，并关注其波动性。我们认为对波动性的研究对现有算法稳定性的优化和未来的设计是至关重要的。本文的主要贡献如下： 　　

　　

　　1.分析了稳定硬币的三种流行算法，建立了通用的形式化建模和验证框架，可用于识别稳定硬币可能变得不稳定的具体条件； 　　

　　

　　2.进一步，基于以太坊的真实交易，我们对基差现金项目进行了实证研究，成功地将2020年12月至2021年1月的理论可能性(稳定货币的可能波动)与实际市场表现(意外波动结果)联系起来。 　　

　　

　　2.背景 　　

　　

　　我们将算法稳定币分为三类，即重定基数、造币权份额和部分抵押。在本节中，我们以一些热门项目为例，简要介绍关键设计 　　

　　

　　一般来说，ERC20代币的价格是有弹性的。Rebase算法通过一些常规的调节机制来稳定硬币，比如调节稳定硬币的总供给，来管理弹性价格。更具体地说，这种适应性调整是通过“重定基数”过程自动实现的。在代币供给变化的过程中，目标稳定货币价格会逐渐稳定到原来的锚定价格，比如1美元。我们以Ampleforth1为例来说明。 　　

　　

　　根据Ampleforth的设计机制，smart contract每天在世界协调时凌晨2点调整Ampleforth的令牌供应量。当Ampleforth价格高于anchor价格时，系统会同时增加所有用户地址中的AMPL余额，但整个过程中用户持有的AMPL占总供应量的比例不会改变。假设Ampleforth的初始锚价是1美元，价格上涨20%，也就是1.2美元。那么一个有100个AMPL的账户，在系统重新调整后(实际上是通过多次调整完成的)，系统余额就是120个AMPL。相反，当安普尔福思价格低于锚价时，所有用户持有的AMPL余额将同时按比例减少。 　　

　　

　　2.1 以Ampleforth为代表的Rebase类 　　

　　

　　稳定币的代币模型中通常引入两种加密货币，即稳定币和权益代币。原则上，当稳定货币的价格高于原始锚定价格时，股权代币用于增加货币供应。除了这两种代币，铸币权份额的算法——稳定币通常会发行可赎回债券，从而形成一种激励机制，在稳定币价格低于锚价时将价格拉回。以Basis Cash2为例进一步说明。该协议包含三种令牌： 　　

　　

　　支持稳定的货币。巴斯。 　　

s Cash发行的稳定币，锚定价格1美元。

　　

BAS权益代币。BAS是指Basis Share，它是一种ERC20代币，并在通胀时为持币用户提供BAC的通胀收益。BAS的设计目的是通过动态增加BAC的供给来防止BAC价格过高。目前，BAS可以通过参与去中心化金融平台上的流动性挖矿来获得，例如Uniswap<6>。

　　

BAB债券。BAB是指Basis Bond，其价格等于BAC当前价格的平方，即 。BAB的设计为参与者提供了一个折扣获取BAB的方式。其设计目的是当BAC价格脱锚时，重新将价格拉回至1美元。

　　

Basis Cash整个协议是通过两种机制，即通证的扩张和紧缩来自适应调整BAC的供应从而稳定BAC的价格。下面我们简单介绍这两个过程。

　　

扩张。扩张的机制的目的在于，BAC价格高于锚定价格时增加BAC的供应量。按照Basis Cash的设计，扩张会在两种情况下被触发。第一种情况，BAC将作为奖励铸造并发放给BAS持有者。也就是说，对任何拥有一定数量BAS的人来说，扩张过程都会按比例将新的BAC进行分配；另一种情况，在价格高于锚定时，BAB持有者可以按照1：1的价格赎回BAC，从而增加BAC的数量。通过这两种方式，BAC的供应量均会有所增加，BAC的价格也会被预期逐渐降低。

　　

紧缩。紧缩的机制旨在减少BAC的供应量。即，当BAC价格低于1美元时，用户可以销毁BAC来低价购买的BAB，若价格再次高于1美元，用户可以用BAB债券1：1赎回稳定币BAC，形成一个套利空间，激励用户购买并销毁BAC。从设计上说，紧缩供应期望能够防止BAC的价格太过低于锚定价格。

　　

2.3 以Frax为代表的部分抵押类

　　

相对于前两种算法稳定币，一种在其基础上，增加了使用部分稳定币作为抵押资产的稳定币登上舞台。一方面，与DAI等现有的抵押式稳定币相比，部分抵押类稳定币可以降低代币的托管风险，并避免超额抵押的出现；另一方面，相对于完全由算法控制的稳定币而言，这类稳定币的价格稳定性更高。下面我们将以FRAX<4>为例进行介绍。

　　

FRAX是首个部分抵押的算法稳定币项目，系统中有两种代币，分别为锚定价值1美元的稳定币FRAX和治理代币FXS。其中，为抵押率，根据系统算法每小时调整一次，每次调整0.25%，以此来维持FRAX价格的稳定。初始时，抵押率为1。当抵押率为0.5时，铸造一枚新的FRAX需要价值0.5美元的其它稳定币作为抵押；当抵押率为1时，需要全额抵押来铸造FRAX；当抵押率为0时，FRAX是纯算法稳定币。

　　

原则上，铸造n个FRAX需要价值的抵押物并燃烧价值的FXS。当FRAX价格高于1美元时，会存在套利机会使用户用1美元的价值铸造高于1美元的FRAX，从而激励用户铸造更多的FRAX，降低FRAX的价格；当FRAX价格低于1美元时，用户可以销毁1枚FRAX换取价值1美元的代币组合，该组合主要是质押代币和FXS。这种措施会激励用户更多地购买FRAX、减少FRAX供应量来提高FRAX的价格。

　　

3. 建模及验证

　　

3.1 稳定币建模

　　

在本节中，我们重点提出了一个由六种时间自动机<7>组成的形式化框架M〈P，E，，S，B，X〉，并且每种都包含一组元组Q〈S，s_0，X，A，T，I，S_n 〉。其中，S为有限的状态集，s_0∈S为初始状态，X为一组非负实数的时钟变量，S_nS为各种接受状态集，A为动作集，I为状态的不变式集合。假定为约束函数，则TS×(X)×2^X×A×S就是状态变迁的集合，其中每一个变迁是〈s，a，g，R，s^' 〉， s和s^'分别为源状态和目标状态，a为动作，g是转换条件，R为等待重置的时钟集。

　　

　　

另外，M通过四类同步通道Ω{ω_e，ω_c，ω_x，ω_u }实现通信。其中，ω_e和ω_c是用来触发代币供应的扩张和紧缩过程，ω_x用来模拟市场交易活动和更新稳定币价格，而ω_u则是来同步E，和X的变化。图1是我们为Basis Cash建立的形式化模型，该模型对其它类型的稳定币同样适用。由于篇幅的限制，我们只阐述BAC。

　　

P模拟了核心协议的五种状态，即初始状态，预扩张状态，扩张状态(价格高于锚定价格时)，预紧缩和紧缩状态(价格低于锚定价格时)。在扩张和紧缩过程开始前，通道ω_e和ω_c会被激活。

　　

E定义了一个包含时钟t和三种状态的过程。当t处于系统规定的供应扩张时间（例如24点）时，只要E接收到P的请求，系统就会开始扩张稳定币的供应（即全局变量N_bac）。对Basis Cash而言，E为其建立了两个扩张转换并通过通道ω_u与X同步。

　　

抽象了整个供应紧缩过程。类似E，中也通过更新全局变量来减少稳定币的整体供应量。不过，这里还模拟了供应量保持不变的情形（投资者没有用BAC换取BAB）。

　　

S和B是用来模拟交易中买方和卖方的行为，他们随机生成交易请求，并通过通道ω_x来完成与其他市场参与方的通信和交互。

　　

X抽象了类似Uniswap等具有自动做市功能的DEX。在X中，所有成交价格都根据AMM及稳定币池计算。不仅如此，X还定义了出售和购买状态，来表示究竟处于买方市场（即卖方多于买方）还是卖方市场（即买方多于卖方）。

　　

3.2 形式化验证

　　

基于上述工作，我们进一步提出了基于时序逻辑<21>来形式化规范定义稳定币的价格稳定性属性。具体来说，稳定性被定义为ΑG类型的时序逻辑表达式，即相关属性应用于整体状态空间中的所有路径和路径里的所有状态之上<21>。

　　

AG(P.Expanded∧E.Updated)!X.Buy（扩张有效性）

　　

AG(P.Contracted∧.Updated)!X.Sell（紧缩有效性）

　　

Basis Cash反常波动示例

　　

　　

稳定性属性。 为了形式化描述价格波动弹性，我们引入了扩张有效性和紧缩有效性。以Basis Cash为例，当P处于供应扩张阶段且E处于Updated状态时（即系统增加货币供给），X不应为购买状态，即不处于买方市场。同样的，当P处于供应紧缩阶段且处于Updated状态时，X不应为出售状态，即不处于卖方市场。

　　

反例分析。我们利用Uppaal 模型检测工具对Basis Cash中的时间自动机<16>进行了验证。图2为引起Basis Cash违反稳定性属性的两个例子，即其发生了不合预期的波动，分别是无效扩张和无效紧缩。在图2a中，系统处于供应扩张阶段，开始铸造并发放新的稳定币，但此时BAC的需求量却出现增加，以致于DEX进入了购买状态而不是出售状态，最终导致BAC价格没有如预期下跌，出现无效扩张；在图2b中，当BAC价格低于其锚定价格时，系统处于供应紧缩阶段，用户可以将手里的BAC拿来换取BAB。然而，如果交易没有发生，导致BAC的供应未发生变化，那系统供应紧缩也就失效了。

　　

4. 实证分析

　　

在本章，我们将基于上文Basis Cash的形式化建模和验证，在真实市场进行数据观测的实证分析。其中所有数据及其查询语句都可以从Dune Analytics<3>(https://explore.duneanalytics.com/dashboard/winky)平台上获取。

　　

　　

正常情况。图3a和3b分别代表正常的供应扩张和供应紧缩过程。如图3a所示，随着新BAC的铸造，BAC价格开始逐渐降低；类似的，在图3b中，随着BAC的销毁，BAC价格开始慢慢上涨。

　　

无效扩张。图3c和图3e表示3.2节中提到的BAC在2020年12月14日至15日的无效扩张过程。从图3c中我们可以清楚的看见，BAC供应量在14日0点和15日0点分别都有所增加，而价格却在14日0点后的7小时内（红色区间）从1.35美元上涨至1.56美元，在15日0点后的7小时内（红色区间）从1.62美元涨至1.76美元，涨幅分别为15.72%和8.40%。这种无效扩张可以归因于图3e所示的市场需求变化。在图3e中，由于早期BAC-DAI池流动性挖矿收益率非常高，导致即便当时BAC正处于系统扩张供应阶段，整个市场对BAC的需求仍迅速增加。这种对BAC的需求也可以由另一个数据侧面观察到，即这批2020年12月14日新铸造的BAC中，约92%的BAC在供应扩张后的2小时内迅速流入流动性挖矿池中。

　　

无效紧缩。图3d和图3f证实了因无效紧缩而可能对BAC带来的未预期波动。从2021年1月11日至本文撰写之时，尽管系统一直处于紧缩供应阶段，BAC的价格却一直维持在其锚定价格以下，如图3d所示。而导致这种无效紧缩的原因在于用户参与度过低，即许多投资者担心若BAC价格一直维持在1美元以下，则无法达到用BAB赎回BAC的条件，因此不愿意销毁BAC来购买BAB债券，Basis Cash的紧缩供应操作失效。正如图3f所示，BAC的销毁数量自1月11日后相较前几日明显减少。

　　

设计决策。首先，从提高稳定性上来说，货币供应紧缩政策的设计比供应扩张政策更加重要。因为加密货币的价格通常更容易下跌，如何在稳定币价格低于锚定价格时让投资者重拾信心，这一点十分关键。开发者在设计之初也可以将协议与更多生态系统结合，以此来丰富稳定币的应用场景提升需求。此外，算法控制的次数和周期也是稳定币设计过程中的关键因素。

　　

5. 相关工作

　　

随着稳定币近年来收到越来越多的关注，研究人员持续在做一些为其设计货币政策的研究工作<11><14>。Saito<22>等人提出将需求量波动转移到供应量波动中，从而来稳定加密货币价格；Caginalp<10>等人利用资产流动方程建立了一个有关加密货币及其稳定性的模型；Amentrano<8> 提出一种供应弹性的加密货币，即哈耶克货币；Sams<23>则在此基础上进一步提出了铸币权份额模式。除此之外，有关算法稳定币设计综述的研究论文和行业报告<9>，<12>，<13>，<15>，<17>，<18>，<20>也不在少数，不仅对不同稳定币进行了细致分类，还详细阐述了各个模式的优缺点，不同程度上成为了之后落地应用的理论基础。

　　

6. 结论

　　

本文对算法稳定币的波动性进行了深入的理论和实证分析。首先，我们为稳定币建立了一个形式化建模及验证框架，用来识别稳定币可能波动的具体条件。然后，我们通过实证分析，验证了该模型与实际市场表现的一致性。最后，我们展望了稳定币未来发展的研究方向。本文中使用的各项数据均可在https://explore.duneanalytics.com/dashboard/winky上获得。

　　

作 者：【火币研究院】赵文琦 李慧 袁煜明

　　

参考文献

　　

<1> Ampleforth. https://www.ampleforth.org/ (2021)

　　

<2> Basis Cash. https://basis.cash/ (2021)

　　

<3> Dune Analytics. https://duneanalytics.com/ (2021)

　　

<4> Frax. https://frax.finance/ (2021)

　　

<5> Tether. http://tether.to (2021)

　　

<6> Uniswap. http://uniswap.io (2021)

　　

<7> Alur, R., Dill, D.L.: A theory of timed automata. Theoretical computer science 126(2), 183–235 (1994)

　　

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<9> Bullmann, D., Klemm, J., Pinna, A.: In search for stability in crypto-assets: are stablecoins the solution? ECB Occasional Paper (230) (2019)

　　

<10> Caginalp, C.: A dynamical systems approach to cryptocurrency stability. arXiv preprint arXiv:1805.03143 (2018)

　　

<11> Caginalp, C., Caginalp, G.: Opinion: Valuation, liquidity price, and stability of cryptocurrencies. Proceedings of the National Academy of Sciences 115(6), 1131– 1134 (2018)

　　

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<23> Sams, R.: A note on cryptocurrency stabilisation: Seigniorage shares. Brave New Coin pp. 1–8 (2015)

　　

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