当我们发现一些知识难以理解时，首先要想到的是，我们是否真的搞清楚了这些知识背后最简单的概念。 　　

　　为了透彻地理解、记下和应用三角函数，我们首先要问：三角函数最简单的概念是什么？ 　　

　　很明显就是sin，cos，tg，ctg这四个概念。这是三角函数的基本元素。可惜很多人研究三角函数很久了，却知道这四个符号，却无法真正理解其内涵。 　　

　　所谓三角函数，简单来说就是直角三角形的几条边的比例关系。假设有一个直角 ABC，C=90，对应斜边C， A和 B分别对应直角边A和B。 　　

　　然后，Sina=A/C，COSA=B/C，TGA=A/B，CTGA=B/A，其实发明这四个函数是为了简化直角三角形的比例线段，避免每次都要写很多线段的比例表达式。SinA代表A的直角边与斜边之比，cosA代表A的邻边与斜边之比，tgA代表A的对边与邻边之比，ctgA代表A的邻边与对边之比。 　　

　　把这些最简单的概念讲清楚，三角函数的公式，基础多的人也不用记。比如sin2A cos2A=1，tgA ctgA=1，cosA tgA=sinA，sinA ctgA=cosA。因为这些都是直接从这个基本概念推导出来的，比如两个公式cosAtgA=sinA，sinActgA=cosA，而且很容易把tgA和ctgA混淆，一不小心就会记成sinAtgA=cosA或者 　　

　　CosActgA=sinA。然而，只要我们知道这四个基本概念，我们就知道 　　

　　永远不要忘记困惑。所以，真正高效的记忆是建立在透彻理解的基础上的。透彻理解之后，十年八年都忘不了，更别说听完课，看完书，或者晚一天忘了。 　　

　　高中阶段，三角函数最大的变化不是公式变多了，而是基本概念扩大了。就是三角函数的取值范围从初中的0到90度变成了任意角度，也就是从负无穷大变成了正无穷大。但是新浪=a/c，COSA=b/c，TGA=a/b，CTGA=b/a这四个基本概念没有变。高中学好三角函数，最根本的是在这四个基本概念的基础上，仔细理解“单位圆”的概念。搞清楚了这个单位圆，整个高中的三角函数公式就解出来了，再怎么变也逃不过我们的手掌心。 　　

　　“标准圆”是在坐标轴上以O点为圆心，直径为1的圆。从圆上的任意点到X轴画一条垂直线。这条垂直线和X轴以及这个点到圆心的点之间的直线正好形成一个直角三角形。如图，取直角坐标系中四个象限的单位圆内任意一点P(x，y)做PMMO，则 　　

　　这里PO=1，PM=y，那么sinO的值就是PM的长度，也就是点p的纵坐标值y，同理， 　　

　　这里和初中唯一不同的是，初中学的是0到90度，所有的值都是非负的，而且不仅有线段的长度，还有向量值，也就是X和Y可能是负的。在第二象限中，Y为正，X为负，所以在这个象限中，sinO为正，cosO为负；在第三象限，X和Y都是负数，所以sinO和cosO都是正数；在第四象限，y是 　　

　　负的，X是正的，所以sinO是负的，cosO是正的。 　　

　　彻底理清这个道理后，高中所有三角函数的角度变化公式都不用背了。什么sin(-)=-sin，cos(-)=cos？你突然想到，这个角沿着X轴对折，从第一象限跑到第四象限。再看第四象限，对应的Y肯定是负的，所以sin(-)=-sin，而x的值还是正的，所以cos(-)=cos。有了这个东西，还剩下哪些千变万化的东西？sin(-/2)=-sin(/2)=-cos，SIN (-3/2)=-COS，COS ( )=-COS.反正加个角度，PO逆时针转，减个角度。 　　

　　它是阴性的。我们很快就会知道。这样，下面的三角函数的周期性也就完整了。 　　

然后就是三角函数和与差的公式，这个也是从单位圆出来的，无非就是单位圆上两个点的距离而已。这个推导课本上都有，看起来推导过程比较长，但只要自己动手在草稿纸上画一下，整个过程就一目了然了。三角函数和与差的公式很复杂，不仅有sin（α+β）=sinαcosβ+ cosαsinβ，sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ，cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，还有tg（α+β）和ctg（α+β）的公式。这些公式颠来倒去的，死记硬背足以把人背出数学恐惧症。如果我们不用“彻底理解+ 把握规律”的方法来记忆，永远也别想学好三角函数。

其实，我们只需要记住sin（α+β）=sinαcosβ+ cosαsinβ这一个公式就行了，剩下的全都可以根据我们的基本概念想出来。因为我们已经把标准圆记在脑子里面了，无论什么角度变化，只要大脑里面好像出现一个闹钟一样：加上一个角，指针就逆时针旋转；减去一个角，指针就顺时针旋转。有了这个东西，怎么变都不会糊涂。

所以，sin（α-β）= sin［α+（-β）］= sinαcos(-β)+ cosαsin(-β)，这里多了个符号，是减，所以要把指针向顺时针方向转动，转到第四象限，y 是负数，x 是正数，sin 值变成负，cos 值还是正值， 所以

sin（α-β）= sin［α+（-β）］= sinαcos(-β)+cosαsin(-β)= sinαcosβ- cosαsinβ。这就出来了，不管是符号还是sin 和cos 的顺序，都绝不会记错。

同理， c o s （ α + β ） = - s i n （ α + β + π / 2 ） =-sinαcos(β+π/2)- cosαsin(β+π/2)，这里是加上π/2，指针要逆时针转动，sin 要变成cos，根据我们的单位圆，我们又可以得出

cos（ α+β）的公式了。同样，cos（ α-β）= cos［ α+（-β）］，我们又可以很容易地知道

cos（ α-β）的公式了。至于tg（ α+β），tg（α-β），ctg（α+β），ctg（α-β），

我们只要知道最基础的四个概念：sinA=a/c, cosA=b/c, tgA=a/b, ctgA=b/a，就足够了。

tg（α+β）= sin（α+β）/ cos（α+β），tg（α-β）= sin（α-β）/ cos（α-β）……

以此类推，看起来无比复杂的两角和与差的公式就很清楚地排列在脑海里面，而且过很长很长的时间，也不会记错一个符号，不会记错一个顺序。这样的记忆效果，又岂是任何一种投机取巧的方法所能够比拟的？！

至于三角函数的二倍角公式，那就更简单了。既然已经知道sin（α+β）=sinαcosβ+ cosαsinβ，那么sin2α= sin（α+α）=sinαcosα+ cosαsinα=2 sinαcosα。后面的cos2α、tg2α、ctg2α 公式也就可以继续按照单位圆概念及这四个基本概念轻而易举地就想出来了，根本不需要刻意地去记忆它们。所以说来说去，整个初中高中的三角函数那么复杂，其实记住两个东西就行了：第一，sinA=a/c, cosA=b/c, tgA=a/b,ctgA=b/a；第二，单位圆的图形变化。

实际上，有谁记不住吗？任何人都记得住这两个东西，但是，为什么那么多人把初高中的三角函数学视为畏途呢？很多人就是在复杂的公式中转晕了头，而忘记了那些最基本的概念和知识之间最基本的联系。所以，如果我们在学习一个看似很复杂的知识时觉得头痛，我们记忆一些看似很复杂的公式时觉得背完就忘，那么，请立即回到最基础的地方，去理解和寻找规律吧。这才是高效记忆的惟一法门。

“正确的学习方法，可以把普通人变成天才；错误的学习方法，可以把天才变成白痴。”记住我这句话。