要理解黎曼猜想，首先要理解素数定理(素数定理)。在数学中，素数定理(PNT)描述了正整数中素数的渐近分布。通过精确量化素数的比率，形成了一个直观的观点：数字越大，素数越不常见。这个定理是雅克阿达玛等人在1896年用黎曼函数(函数)证明的。
小于给定数的质数有多少个？
取一个正整数。我以28为例。到底是什么可以划分呢？答案是：1，2，4，7，14，28。这些是28的因素。假设28有六个因素。不难得到，每个数都有1和它本身作为因子，1和它本身以外的因子称为真因子。比如28的真因数是2，4，7，14。而29没有真因子。质数是没有真因数的正整数。
以下是从1到1000的质数：
如你所见，总共有168个。如果你仔细看这个质数列表，你会发现它们出现的频率越来越低。1到100之间有25个质数；41到500之间的有17个；从01到1000只有14个。在任何100个整数的区间内，素数的个数似乎都在减少。如果我们列出所有小于100万的质数，你会看到最后100个整数中只有8个质数(即从999901到100万)。如果继续扩大到1万亿，那么最后100个整数只有4个素数(它们是：999，999，999，937；999,999,999,959;99，999，999，961和999，999，999，989)。
质数有多少个？
问题自然就产生了。如果继续下去，会不会最终达到一个点，超过这个点就没有质数了，然后就会出现一个最大质数？
欧几里得在公元前300年左右找到了这个问题的答案。没有最大素数。不管你找到多大的质数，你总能找到更大的质数。证明“素数有无穷多个”的方法有很多，网上可以查到，这里不给出。
接下来，数学家们自然很好奇：我们能确定质数的（增长）规律（分布）吗？,有25个小于100的质数，小于1000的质数是168(而不是250
），质数不是均匀分布的，而是越来越“稀薄”。但为什么是168年？为什么不是158或178，或其他数字？有没有一个规则，一个公式，告诉我小于给定整数的质数有多少个？
像上表这样的两列是一种函数的表示。
“函数”是数学中最重要的概念之一。函数的主要思想是，根据某种固定的规则或过程，某个数字（右边一列中的数字）取决于另一个数字（左边一列中的数字）。在上表中，规则是：“数到左边一列的数字为止，共有多少个素数。”
另一种说法是：函数是一种转化方式（数学家说“映射”），即把一个数字变成另一个数字。上表中的函数将数字1000转化为数字168――同样，通过某种确定的规则。
重要的函数都是有名称的，上表表示的函数是“素数计数函数”，符号为 π (N)。这里的π是欧拉首先使用的，与圆周率毫无关系。
所以π (N)被定义为到N为止的质数的个数。回到我们的主要问题：是否有一些规则，一些简洁的公式，可以让我们计算出π（N）？
下面我们用N/π（N），得到下表：
仔细表2：右边一列，似乎是一个以7为“公差”的等差数列。这可能不会让你觉得很奇妙，但当一个数学家看到这样的表时，他的脑海中就会闪现出一个特别的词。让我解释一下。
有一类函数在数学中非常重要，那就是指数函数。你很可能对他们有所了解。“指数”这个词已经从数学中“跑到”了日常语言中。我们都希望我们的财富呈指数增长，也就是说，越来越快。
表三是一个指数函数，自变量通过“加法”增加，函数值则以“乘法”增加。在众多指数函数中，数学家最喜欢的一个可能是：
我不能在不涉及微积分的情况下解释e的重要性，但我的目的是用最简单的方式来解释黎曼猜想。因此，我只能告诉你e是一个非常非常重要的数字，没有其他指数函数能比得上这个函数。
相反的情况呢？假设有这么一个函数，它的规则是：当参数（自变量）通过乘法增加时，函数值通过加法增加，这是什么函数呢？
这里我们已经进入了逆函数的领域。数学家们非常热衷于求逆――把它们颠倒过来。如果y是8乘以x，x怎么用y表示？除法是乘法的逆运算。一种叫作“平方”的运算，就是把一个数和自己相乘，它的逆运算是什么？如果y = x^2，用y表示，x等于多少？它是y的平方根。如果你懂一点微积分，你就会知道有一个过程叫作“微分”，你可以用它来把一个函数f转换成另一个函数g，它会告诉你f在任意参数下的瞬时变化率。
在与黎曼假设相关的数学中，对数函数无处不在。我在后面的文章详细介绍。现在，你只要知道它是一个非常重要的函数，并且如果y = e^x，则x = logy。
我将直接切入正题，向你们展示对数函数。当将函数表示为表格的形式时，我可以选择参数和小数点的位数。
下面的表述似乎是合理的：N / π (N)接近于log N；N越大，越接近。以一般的代数规则表述是：
当然，我还没有证明这个（结论），我只是说它是可能的。这是一个非常重要的结论，被称为“素数定理（the Prime Number Theorem，PNT）”。
最后是PNT的两个结果，假设它是真的。
接下来，我们将继续深入……
