一、连续函数运算-四则运算

　　

　　

　　设f (x)和g (x)在x=x0处连续，则： 　　

　　

　　1.f (x) g (x)在x=x0处连续。 　　

　　

　　2.f(x)g(x)在x=x0处连续 　　

　　

　　3.若g(x)0，则f(x)/g(x)在x=x0处连续。 　　

　　

　　证明： 　　

　　

　　因为f(x)，g(x)在x=x0处是连续的 　　

　　

　　因此，lim (x-x0) f (x)=f (x0)和lim (x-x0) g (x)=g (x0) 　　

　　

　　(1) 　　

　　

　　lim(x-x0)=lim(x-x0)f(x)lim(x-x0)g(x)=f(x0)g(x0) 　　

　　

　　所以f (x) g (x)在x=x0处是连续的。 　　

　　

　　(2) 　　

　　

　　lim(x-x0)=lim(x-x0)f(x)lim(x-x0)g(x)=f(x0)g(x0) 　　

　　

　　所以f(x)g(x)在x=x0处是连续的 　　

　　

　　(3) 　　

　　

　　g(x)0 　　

　　

　　lim(x-x0)=lim(x-x0)f(x)/lim(x-x0)g(x)=f(x0)/g(x0) 　　

　　

　　所以f(x)/g(x)在x=x0处是连续的 　　

　　

　　

二、连续函数运算-复合运算

　　

　　

　　 y=f(u)，u=g(x)，g(x)a 　　

　　

　　如果lim (u-a) f (u)=a，lim (x-x0) g (x)=a，则lim (x-x0)=a。 　　

　　

　　即lim(x-x0)=f=f(a) 　　

　　

　　所以lim在求极限，遇到复合函数的时候可以“钻”到子函数里。 　　

　　

　　例如lim(x-0)arctan x((1-x)/(1x))=arctan=arctan 1=/4 　　

　　

　　

三、初等函数连续性

　　

　　

　　 1.基本初等函数 　　

　　

　　(1)x^a 　　

　　

　　(2)一个x，(A0和a1) 　　

　　

　　(3)loga(x)，(a0和a1) 　　

　　

　　(4)sinx，cosx，tanx，cotx，secx，cscx 　　

　　

　　(5)arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx 　　

　　

　　2.基本初等函数在其定义域中是连续的。 　　

　　

　　3.初等函数(由四个基本初等函数和常数组成的函数)在其定义域内是连续的。 　　

　　

　　例如：lim (x-2) 　　

　　

　　这个函数是初等函数，在定义域内是连续的，连续性质的极限值等于该点的函数值。 　　

　　

　　所以：原公式=0 　　

　　

　　例如：lim(x-0)《1+2x》/(1-x)(1/sin2x) 　　

　　

　　=lim(x-0)1 3x/(1-x)^(1/sin2x) 　　

　　

　　=lim(x-0)1 3x/(1-x)^ 《(1-x》/3x)*(3x/sin2x)*(1/1-x) 　　

　　

　　=e^ 　　

　　

　　=e^ 　　

　　

　　=e^(3/2)