因子分解的常用方法
一、本节学习指导
这部分比较复杂，因式分解大多讲究技巧，要多做练习，慢慢总结。本部分有辅助学习视频
二、知识要点
1、因式分解的思路和解题步骤：
(1)先看每一项是否有公因子，如果有，先提取公因子；
(2)看是否能用公式法；
(3)利用分组分解法，即分组后提取各组的公因子或利用公式法达到分解的目的；
(4)因式分解的最终结果必须是几个代数表达式的乘积，否则不是因式分解；
(5)因式分解的结果必须进行到每次因式分解都不能再在有理数的范围内分解为止。
2.提出公因子法。
(1)如果多项式的每一项都包含一个公因子，那么可以提出这个公因子，从而将多项式转化为两个因子的乘积。这种因式分解的方法叫做公因式提升法。
例如ab ac=a(b c)
(2)概念内涵：
(1)因式分解的最终结果应该是‘乘积’；
(2)公因子可以是单项式，也可以是多项式；
(3)公因子法的理论基础是乘法对加法的分配定律，即ma mb-mc=m(a b-c)
(3)易错点：
(1)注意物品的符号和幂指数是否有误；
(2)公因子是否‘干净’；
(3)多项式中的某项只是一个公因子。提出后，括号里的这一项是1，所以没有遗漏。
3.用公式法。
(1)如果乘法公式反过来，可以用来因式分解某些多项式。这种分解因子的方法叫做公式法。
(2)主要配方：
(1)方差公式：
(2)完全平方公式：
(3)易错点：阶乘分解要分解到底。如果不分解到底。
4.如何选择配方？
(1)、方差公式：
应该是二项式或视为二项式的多项式；
二项式(无符号)的每一项都是一个单项式(或多项式)的平方；
这两项是不同的数字。
(2)完全平方公式：
(1)应该是三项式；
其中两个符号相同，都是一个代数表达式的平方；
还有一项可以是正的，也可以是负的，是前两个幂的基积的两倍。
5.分组分解方法：
(1)分组分解法：将因素分组分解的方法称为分组分解法。
比如：
(2)概念内涵：
分组方法的关键是如何分组，分组后是否有一个公因子要提，能否连续分解，分组后能否用公式法连续分解。
(3)注意：分组时注意符号的变化。
5.叉乘法
对于一些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解成两个数的乘积，然后画一条十字线就可以把二次三项式分解了。这种方法叫做交叉乘法。
简单来说，十字乘法就是：十字左边的乘法等于二次系数，右边的乘法等于常系数，十字乘法等于第一个系数。
注意：叉乘并不适用于所有的二次三项式。只有当第一项的系数、第二项的系数和常数项之间存在特殊关系时才能使用。这种特殊的关系通过例子来说明：
分析：
第一步：观察常数项-7，二次项系数1，一次项系数6，我们可以得出-7=7-1。
所以，-7列纵向表示为7和-1，如上图所示；二次系数1=11，所以列竖公式1，1，我们把它们交叉相乘然后相加得到7-1=6。我们发现它只是一阶系数，所以我们决定使用交叉乘法。这一步也是使用交叉乘法的一个条件。
第二步：我们把水平的第一行1，7写在括号里(1x 7)，其中1是x的系数，第二行1，-1写在括号里(1x-1)。最后，我们将两个括号相乘，得到最终结果。
第三步：写出分解结果：(1x 7)(1x-1)
注意：在使用交叉乘法之前，一定要根据第一步判断是否可以使用交叉乘法。当我们分解常数项和二次项系数时，有很多变化。目的是交叉相乘的和应该等于第一项系数。常数项和二次项系数如何分配，视情况而定。交叉相乘在分解系数时容易出错，要小心。分解的结果与原公式不同，所以通常用多项式乘法来检验分解是否正确。
易出错点：
(1)交叉相乘在分解系数时容易出错；
(2)分解的结果与原公式不同。这时通常用多项式乘法来检验分解是否正确。
三。体验：
通常将一个多项式分解成因子时，要先提到公因子，再应用公式法或其他方法。多项式分解时，每个因子都要分解到不能再分解为止。
代数表达式的除法
一、本节学习指导
这一节，我们要记住平。
方差公式、完全平方差公式，并且要会逆运算的运用，这点在因式分解中经常用到。本节同学们要多看，不要忘记常见的公式。本节有配套免费学习视频。二、知识要点
1、整式乘法
（1）、单项式除法单项式
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；
（2）、多项式除以单项式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。
2、平方差公式
（1）、平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即 。
其结构特征是：
①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；
②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。
3、完全平方公式
（1）、完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即 ；
口诀：首平方，尾平方，2倍乘积在中央；
（2）、结构特征：
①公式左边是二项式的完全平方；
②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。
（3）、在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现 这样的错误。
添括号法则：添正不变号，添负各项变号，去括号法则同样
4、同底数幂的除法
（1）、 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 （a≠0,m、n都是正数，且m>n）。
（2）、 在应用时需要注意以下几点：
①法则使用的前提条件是"同底数幂相除"而且0不能做除数，所以法则中a≠0.
②任何不等于0的数的0次幂等于1,即a0=1(a≠0)，100=1，（-2.5）0=1.而00无意义
③任何不等于0的数的-p次幂（p是正整数），等于这个数的p的次幂的倒数，即 （ a≠0,p是正整数）， 而0-1,0-3都是无意义的；当a>0时，a-p的值一定是正的； 当a<0时，a-p的值可能是正也可能是负的，如 。
④运算要注意运算顺序。
5、 分解因式
（1）、把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
（2）、因式分解与整式乘法是互逆关系。
（3）、因式分解与整式乘法的区别和联系：整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘。
三、经验之谈：
如何记住上面的公式呢，我们可以利用文字理解来帮助记忆。平方差是先平方后作差： ；完全平方差（和）是完全把差（和）平方了即：，
整式的乘法
一、本节学习指导
整式的乘法是整数运算的主要内容，是进一步学习因式分解、分式、方程以及其它数学内容的基础，学习过程中只要能理解并运用数学常用方法"整体代入"便可学好本节，本节同学们要多做练习，达到很多整式乘法都能口算为止。本节有配套学习视频。
二、知识要点
1、 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
注意：①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；
②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；
③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
2、单项式与多项式相乘
单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
注意：①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；
③在混合运算时，要注意运算顺序。
3、多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
注意：①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；
②多项式相乘的结果应注意合并同类项；
三、经验之谈：
其实本节的难度并不大，很多同学出错是因为粗心，做本章节题目时我们一定要把眼睛放大看准了，数学可是非常了不起的学科哦，是唯一能全方位训练人体大脑的学科。同学们从今往后也要做一个细心的人哦！很多同学可能会说："我天生就粗心",其实粗心和细心之间区别就在于"心"而不在于"先天、后天".有个笑话：刘备妈妈问刘备为什么没有考好，刘备答：我笨。刘备妈妈就问："笨是先天的呢还是后天的？刘备顿时醒悟，然则考上北大，当然帝王。
同底数幂的乘法
一、本节学习指导
理解幂的乘方和积的乘方法则是至关重要的，知识点很好理解，考察的时候经常和其他知识点结合命题，有时也单独命题，但基本都很容易，一般是选择题、填空题，同学们要牢牢掌握本节涉及的公式。本节有学习视频.
二、知识要点
三、经验之谈：
同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方这三个运算法则是整式乘法的基础，也是整式乘法的主要依据。所以要求每个学生都能掌握三个运算法则的数学表达式： （"m、n都为正整数）"，文字表述为"同底数幂相乘，底数不变，指数相加，幂的乘方，底数不变，指数相乘，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方"。
次函数
一、本节学习指导
本节的知识相当重要，同学们要引起重视，如果给出一个式子让其判断是不是一次函数，判断方法我们要掌握。关于一次函数的解析式的几种求法我们要会，特别是最常用的"待定系数法"。本节有配套学习视频。
二、知识要点
1、一次函数：形如y=kx+b （k≠0, k, b为常数）的函数。
注意：（1）要使y=kx+b是一次函数，必须k≠0.如果k=0,则kx=0,y=kx+b就不是一次函数；
（2）当b=0时，y=kx,y叫x的正比例函数。
2、图象：一次函数的图象是一条直线。【重点】
（1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0,b）；与x轴交于（-b/k,0）
（2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。
3、性质： 【重点】
（1）图象的位置：
（2）增减性
k>0时，y随x增大而增大
k<0时，y随x增大而减小
4.求一次函数解析式的方法 【重点】
（1）由已知函数推导或推证
（2）由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。
（3）用待定系数法求函数解析式。（最常用）
"待定系数法"的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：
①利用一次函数的定义
x的系数不为0,x的最高次数为1,构造方程组。
②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx,即由k来定方向 .
③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。
④利用题目已知条件直接构造方程 .
三、经验之谈：
1、判断一个式子是不是一次函数，首先看"k"是否等于零，其次看最高次项是否等于1次。
2、给出一个一次函数，我们要能迅速的画出图像，一看朝向，如果k>0,图像"向上爬",k<0,图像"向下滑";二看截距，截距就是|b|,如果b>0,图像和y轴的焦点在y的正半轴，如果b<0,则在y的负半轴。一次函数的图像是一条直线，因此我们只要定出两点即可，两点确定一条直线。
3、一次函数的增减性很简单，当函数图像"向上爬"时，y随x的增大而增大；当函数图象"向下滑"时，y随x的增大而减小。
函数
一、本节学习指导
本节开始我们接触函数知识，这里我们要理解函数的概念、函数的表示方法、作图方法。希望同学们多动手画图，多思考，多做练习题。本节有配套学习视频。
二、知识要点
1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量，函数中用x表示。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量，往往用c来表示。
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
注：函数是一种变化关系，这里我们举个例子来帮助理解，比如：我们由上海到北京可以选择坐飞机或者火车，如果选择坐飞机，相应会省时间，如果选择坐火车，相应会省钱。这种变化关系就可以说是函数关系，因变量y总是随着自变量x的变化而变化，x变了，y就会有唯一的一个值来回应x的变化。
注意：x变了，y就会有唯一的一个值与之对应。比如：x2=y,当x=±2时y都等于4,x可以是多个值，而y与之对应变化的只有一个值，简称"多对一".判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应
例：判断下列的图像不是表示函数的是：
分析：上面四个图，看似都差不多，到底那一个图表示的不是函数呢，我们根据：看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应，再看下面的分析图。只要在x轴上找到一个x值使得函数有2个以上的值与之对应，那么这个图就不是函数的图，如下图A.
3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、确定函数定义域的方法：
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式
6、函数的图像
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。
7、描点法画函数图形的一般步骤
第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；
第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
例：画出函数y=2x的图像
第一步：取点，（一般情况下，取以0为中心的点）
第二步：描点，（根据坐标知识准确标出上面取的点）
第三步：连线，（用平滑的线连接起来）
8、函数的表示方法
（1）列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
（2）解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
（3）图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
三、经验之谈：
1、如果给出一组图，我们要能正确的判断是否是函数的图，精髓在于"唯一"二字。2、其次我们要懂得画函数图象的步骤和技巧。3、给出一个函数关系式我们要保证这个关系有意义，以此来快速求出定义域（x的取值范围）。
实数的分类
一、本节学习指导
本节本身并不难，同学们只要明白无理数、实数、绝对值的概念，再做适当练习题就能完全掌握。我们要注意理解绝对值的几何意义。本节有配套学习视频。
二、知识要点
1、无理数
（1）无限不循环小数的小数叫做无理数；
注意：它必须满足"无限"以及"不循环"这两个条件。在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有圆周率的一些数；（2）开方开不尽的数，如：根号2,根号3等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。应当特别注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：根号9等；无理数也不一定带根号，如：圆周率
2、有理数与无理数的区别：
（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；
（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
3、实数
（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0,最大的负整数是-1.
（2）实数的性质：实数a的相反数是-a;实数a的倒数是1/a（a≠0）；实数a的绝对值
它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。
注意：绝对值的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离，比如|5|表示的是数轴上到原点距离为5的所有点，即有两个：-5,5,这两点到原点的距离都为5,所以|±5|=5.
（3）实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0,0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。
（4）实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一致。
三、经验之谈：
本节考得最多的是无理数的概念和绝对值的几何意义。无理数常见的几种表现方式我们要熟悉，注意：无限循环小数是有理数。其次我们要正确的理解绝对值的几何意义，它表示的是数轴上的点到数轴原点的距离，我们都知道数轴分为正负两半，那么不管怎样总有两个数字相等符号相反的两个数到原点的距离相等。
平方根和立方根
一、本节学习指导
平方根是实数章节的基础知识，也是以后学习一元二次方程等知识的必备基础，中考的必考内容之一，此节我们要掌握平方根和立方根的概念。本节有配套免费学习视频。
二、知识要点
3、立方根
（1）如果x的立方等于a,那么，就称x是a的立方根，或者三次方根。读作，3次根号a.注意：这里的3表示的是开根的次数。一般的，平方根可以省略不写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。
（2）平方根与立方根：每个数都有立方根，并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。
三、经验之谈：
实数是整个数学学科的基础，对于初学者来讲，有些概念比较抽象、难懂，没关系，慢慢来，对于平方根和立方根的基础题型我们要会做，本节题目在后面变化多端，多做练习相信一定能理解的。
等腰三角形
一、本节学习指导
本节中我们要掌握等腰三角形、等边三角形的性质和特征。这一节的知识在后面用得非常多，当然也不用刻意去做练习增强这部分记忆，后面我们在做题中用多了也就理解记忆了，慢慢的就把这部分知识当成一种习惯了。
二、知识要点
1、等腰三角形
有两条边相等的三角形是等腰三角形。如图：相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边。两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。
2、等腰三角形的性质【重点】
性质1:等腰三角形的两个底角相等（简写成"等边对等角"）
性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
注：（1）等腰三角形是轴对称图形。
（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等。
（3）在全等三角形中，相等的边对应的角相等，反之也成立。
3、等腰三角形的判定定理、
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成"等角对等边"）。
4、等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形。
5、等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°
6、等边三角形的判定方法
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
7、常用结论【重点】
（1）在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半。
（2）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等，即为三角形的内心。
（3）等边三角形中三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
上图中一一用图形展现了上面的结论，希望能帮助同学们理解这些里结论。下面对应解释一下。
（1）直角三角形ACB中，∠B=30°，所对的边AC=（1/2）AB
（2）三角形ABC中，三个内角平分线交与点O,则有OE=OF=OD.适用于任何三角形。
（3）在等边三角形中，三边的中垂线AD、BE、CF交于一点，并且三个顶点ABC到交点的距离相等。
三、经验之谈：
本节的知识还算比较简单，不过同学们要善于观察图形，总结经验。这里提醒一下，很多同学在做几何题的时候喜欢"猜"，比如：题目中并没有告诉他一条线是一个角的角平分线，他就当成角平分线来用了，这是不对的哦！如果是已经证明的真理我们直接可以拿过来用，否则千万不要乱"猜"!当然在考试中，如果遇到实在不会做的，也是下下策。
轴对称图形的变换
一、本节学习指导
本节知识相对还是比较好学，同学们多动动手和观察，本节配套免费学习视频。
二、知识要点
1、轴对称变换：由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换。
注：成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到。
2、轴对称变换的性质
（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样
（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点。
（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。
3、作一个图形关于某条直线的轴对称图形【重点】
（1）作出一些关键点或特殊点的对称点。
（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形。
例：画出△ABC的轴对称变换后的得到的图形。
分析：我们找到能决定形状的点，
① 找到点A、B、C,
② 接着过点A、B、C分别作对称轴的垂线，并使得垂足到两个两个点的的距离相等，如：B、B'到对称轴的距离相等
③ 连接经过轴对称变换后的几个点A'B'C',得到△A'B'C',完毕。
4、找一点使距离之和最短【重点】
条件：如下左图，A、B是直线L同旁的两个定点。
问题：在直线L上确定一点P,使PA+PB的值最小。
方法：作点A关于直线L的对称点A',连结A'B交L于点P,则PA+PB=A'B的值最小。
注：这个知识点非常有技巧，以后遇到的很多题型如果会运用这个方法就省很多事。
用坐标表示轴对称
5、关于坐标轴对称【重点】
点P（x,y）关于x轴对称的点的坐标是（x,-y）
点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标是（-x,y）
点P（x,y）关于原点对称的点的坐标是（-x,-y）
点P（x,y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是（y,x）
三、经验之谈：
上面的总结已经淋漓尽致了，基本上每个知识点都说的很清楚，剩下的就看同学们愿不愿意思考和动手了。上图2中，同学们想一想P（x,y）关于y=-x轴对称点P2的坐标是什么。
轴对称
一、本节学习指导
本节较简单，同学们重点理解两点，第一：轴对称图形和图形轴对称的区别；第二：正确画出一个图形轴对称的结果。本节有配套免费学习视频。
二、知识要点
1、轴对称图形
如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴）
2、轴对称
有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。两个图形关于直线对称也叫做轴对称。
3、图形轴对称的性质
如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
4、轴对称与轴对称图形的区别
轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系。
轴对称图形是一个具有特殊形状的图形。
注意：轴对称强调的是对称后的位置，任何图形都可以有轴对称对应的位置关系；轴对称图形强调的是图形本身对不对称，只有部分图形是轴对称图形。
注：上图中第一个圆是轴对称图形，我们都无异议。看第二个圆，它通过中间的对称轴然后得到后面的第二个一模一样的圆，它们形状大小相同。
5、线段的垂直平分线
（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）。
（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
三、经验之谈：
本节中我们要学会画出一个图形的轴对称图形，在以后的几何题型中也要学会运用图形轴对称、垂直平分的性质，这类知识要活学活用。
角平分线的性质
一、本节学习指导
角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关题型。其实不仅仅是角平分线，还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形题目有效的途径。本节有配套免费学习视频。
二、知识要点
1、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。
如下图：OC平分∠AOB
∵OC平分∠AOB
∴∠AOC=∠BOC
2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。【重点】
如第一个图：
∵OC平分∠AOB（或∠1=∠2），PE⊥OA,PD⊥OB
∴PD=PE,此时我们知道△OPE≌△OPD（直角三角形 斜边是OP即公共边，直角边斜边）
3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
如第一个图：
∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE
∴OC平分∠AOB（或∠1=∠2）
4、线段的中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的中点。
如下图：
∵C是AB的中点
∴AC=BC
5、垂直的定义：两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，这两条直线互相垂直。
如图：【重点】
∵AB⊥CD
∴∠AOC=∠AOD=∠BOC =∠BOD=90°
或∵∠AOC=90°
∴AB⊥CD
注意：要判断两条直线垂直，只要知道这两条相交直线所形成的四个角中的
一个角是直角就可以了。反过来，两条直线互相垂直，它们的四个交角都是直角。
6、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
∵△ABC≌△A'B'C'
∴AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C'; ∠A=∠A', ∠B=∠B', ∠C=∠C'
三、经验之谈：
本节的重点是第2点，角平分线的性质，这条性质在以后的几何题型中用的非常多，本章的三角形全等也不例外，如果我们碰到题目中出现角平分线，我们要会利用它的性质。告诉大家一个秘密：在几何题型中，99%的题目给出的条件都是要用到的，除非此题属于难题范围，故意给些误导性条件。
全等三角形的判定
一、本节学习指导
本节较难，考试题目千变万化，更是容易和其他几何联合起来出题，同学们要牢牢的掌握好。有什么困难可以发在加速度学习网上，让我们一起讨论。本节有配套免费学习视频。
二、知识要点
1、两个三角形全等的条件【重点】
（1）判定1--边边边公理
三边对应相等的两个三角形全等，简写成"边边边"或"SSS".
"边边边"公理的实质：三角形的稳定性（用三根木条钉三角形木架）。
注意：边边边是三条边都相等，并且在书写时边与边要对应书写。在已知两边相等的情况下优先考虑。
（2）判定2--边角边公理
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成"边角边"或"SAS".
注意：边角边中，角是指两对应边的夹角，如上图中，同样在书写时对应边角对准。比如上图中正确的写法是：△ABC≌△A'B'C'
（3）判定3--角边角公理
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。简写为"角边角"或"ASA".
注意：角边角中，边是两个角中间时，才能描述为角边角，否则就是下面的角角边。
（4）判定4--角角边推论
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。简称"角角边"或"AAS".
（5）直角三角形全等的判定--斜边直角边公理
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简写成"斜边直角边"或"HL".
（6）判定直角三角形全等的方法：
①一般三角形全等的判定方法都适用；
②斜边-直角边公理
2、证明三角形全等一般有以下步骤：
（1）读题：明确题中的已知和求证；
（2）要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中
（3）、分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。有公共边的，公共边一定是对应边， 有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角。
（4）、先证明缺少的条件
（5）、再证明两个三角形全等
（要符合书写步骤：先写在某两个三角形中、然后写条件，再写结论）
三、经验之谈：
对于常见的四种判定三角形全等的方法我们都要掌握，并且知道"边"是什么边，"角"是什么角，上面中并没有"边边角"这点要记牢了。本节是非常重要的一章节，同学们一定要多做练习题，不会的要向老师及时请教。
全等三角形
一、本节学习指导
这一节我们来认识全等三角形，这一节我们要重点掌握三角形全等的表示方法，以及全等三角形的性质。本节有配套学习视频。
二、知识要点
1、全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
注：完全能重合的图形那么固然：形状完全相同，大小固然相等，对应角也相等。
2、全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。用符号"≌"表示，读作：全等。
3、全等三角形的表示：
（1）两个全等的三角形重合时：重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角。
（2）如图，△ABC和△A'B'C'全等，记作△ABC≌△A'B'C'.通常对应顶点字母写在对应位置上。
注意：在写三角形全等的时候一定要把相对应角的顶点 对应写，比如上图中写成△ABC≌△A'B'C',而不能写成△ACB≌△A'B'C',因为C对应的是C'所以这种写法是错误的。
4、全等三角形的性质：
（1）全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
（2）全等三角形的周长、面积相等。
5、全等变换：只改变位置，不改变形状和大小的图形变换。
平移、翻折（对称）、旋转变换都是全等变换。
6、全等三角形常见类型
翻折法：找到中心线经此翻折后能互相重合的两个三角形，易发现其对应元素
旋转法：两个三角形绕某一定点旋转一定角度能够重合时，易于找到对应元素
平移法：将两个三角形沿某一直线推移能重合时也可找到对应元素
三、经验之谈：
本节开始我们学习全等三角形，全等三角形在初中几何中应用非常广泛，同学们要认真学习。
