参数方程曲线曲率公式推导过程,二维曲线的曲率半径公式

  

     

  

  重力可能是人类历史上发现的第一个基本力,但在很多方面,它仍然是人们不完全了解的四个基本力之一。从牛顿提出万有引力定律开始,人们就知道宇宙中任意两个质量无论距离多远都有引力。   

  

  爱因斯坦提出广义相对论的时候,一个很大的进步就是认识到时间和空间合并成了一个单一的实体:时空。在爱因斯坦看来,物质和能量的存在扭曲了时空的结构,弯曲的时空反过来决定了物质如何运动,这就是引力的成因。   

  

  在许多情况下,我们会看到下面的时空结构图:   

  

     

  

  我们生活在三维空间,但看到的示意图往往是二维结构。那么,在现实中,时间和空间真的是一种结构吗?如果是,那么时空的真实结构是什么?   

  

  的确,曲面不能反映我们生活的真实世界。在很多示意图中,我们经常会看到弯曲的二维网格图,代表弯曲的空间。似乎描绘了空间的结构因质量的存在而弯曲。因此,任何沿着这个结构运动的物体都倾向于加速接近引力源。质量越大,离它越近,曲率越大,弯曲程度也越大。   

  

  至少直观上,这似乎是百年来通过实验和观测验证广义相对论的结果。从日全食时背景星光的弯曲到今天的引力透镜效应,至少在定性上,这种空间描述似乎与实际情况相符。   

  

     

  

  但是这个描述暗示了什么呢?如果空间像一个结构,质量是如何弯曲空间的?   

  

  从二维的画面上看,这就像是一个物体在某种程度上把空间结构“拉下”,然后其他物体在经过这个空间时会被某种无形的力量“拉下”。很明显,这是错误的,因为没有外部引力在起作用。此外,网格线远离质量也不可能是真的,尤其是在重力吸引的情况下。   

  

  根据广义相对论的引力场方程,引力其实是一种几何效应。虽然这种自然的可视化肯定是错误的,但这种认为质能会弯曲空间的观点是正确的。   

  

  我们可以通过正确的空间维度(3D)对空间曲率进行更好的可视化。想象有一个完全空无一物的空间。附近没有质量、辐射、暗物质、暗能量、中微子或者其他任何可能导致这个空间弯曲的东西,所以这个完全空无一物的空间没有固有的曲率。   

  

  或者想象空间是平的,静止的,空的。如果坚持画一个网格,三维空间结构应该是下图这样的:   

  

     

  

  现在,让我们在这个时空里放一个质量。这个质量会弯曲时空,但它实际上并不是一个结构:它只是构成了空无一物的宇宙本身的虚无。广义相对论的方程告诉我们这种曲率是如何产生效应的,但没有告诉我们如何将它可视化。   

  

  一个好的方法是画网格线,就好像它们代表一个负能量的尘埃粒子上的力,没有压力。粒子受的力越大,时空的曲率就越大。如果我们把它画出来,我们会得到一个非常不同而且可能更有用的场景,如下图所示:   

  

     

  

  这个场景最大的问题是很难画。幸运的是,随着电脑动画的出现,我们可以想象空间本身是如何弯曲的,甚至是移动的物体。   

  

  其实空间不是一个结构,而是占据了整个宇宙。简单来说,时空就是:当我们把宇宙中的一切都拿走的时候,留下了一些我们可以拿走的东西。当我们把质量这样的东西放到宇宙中,时间和空间还是在,只是它的属性被它里面的东西改变了。如果放进去的质量更大,时空会更弯曲。   

  

     

  

  但在某种程度上,我们可以把空间看成一个结构。但如果我们这样做,我们必须意识到这意味着将视角降低到二维类比。我们宇宙中的空间是三维的。当我们把空间和时间结合起来,就会得到一个四维量。说到时空曲率的概念,这就是广义相对论所指的。   

  

  但无论如何,我们都不应该把空间当成物质,空间不是任何物理物质。这只是一个数学结构。我们可以写下来,用引力场方程来描述。虽然物质和辐射以引力场方程预测的精确方式对空间的曲率做出反应,但这并不意味着空间实际上是一种结构。   

二维曲线的曲率半径公式7.jpg">

  

此外,很多时候我们还会讨论在“空间构造拉伸”背景下的膨胀宇宙,尽管没有构造,也没有真正的拉伸。现在的情况是,在广义相对论看来,宇宙中任意两点之间的距离是根据一组特定的规则而变化的。星系就像嵌在面包里的葡萄干一样,相互远离。辐射的波长也变长了,好像波峰和波谷的长度也在不断膨胀。

  

但在现实中,没有任何构造导致了膨胀。在葡萄干/面包的类比中,葡萄干(星系)是真实存在的,但是面包(空间的构造)只是一个形象化的东西。

  

  

在所有的物理学中,最矛盾的想法之一是,描述宇宙的方程式就是:描述我们可以在物理上观察到的事物的方程式。我们不能观察到“空间的构造”,而不是观察到空无时空中是虚无的,它只是存在。任何我们试图赋予它的视觉效果,无论是二维的结构,三维的网格,还是一个葡萄干/面包结构,都是由人类的认知所创造出来的,理论本身并不需要它。

  

然而,我们可以观察到的是存在于这个空间中的实体――物质和辐射。这些是我们可以测量的实体,它们的行为使我们能够测试爱因斯坦的广义相对论。我们在接受数学是什么的方面做得并不好,所以我们选择用类比来帮助我们描绘宇宙中正在发生的事情。我们可以观察到广义相对论的可测量结果,而不是时空的实际结构,即使它是由潜在的理论本身所预测的。

  

  

在这方面,所有的类比都有局限性和缺陷。广义相对论告诉我们宇宙是如何以一种特定的方式来分布物质和能量,这与我们的观察是一致的。我们可以选择以任何对我们最有意义的方式来可视化它,但是所有的可视化都是有缺陷的。我们所能做的最好的事情就是试着去理解宇宙,尽管实际情况可能令人十分困惑,但这就是现实。

相关文章