在网络、计算机视觉和高维云数据领域，图提供了一种灵活的模型来表示数据。图上的数据是附着在图上每个网络节点的信息值，图上的数据可以量化成有限的一组样本，即图信号1。随着图形信号处理的发展，越来越多的学者从事图形信号处理的研究。图形信号处理将传统信号处理中的许多概念和理论扩展到图形结构中，并引入了图形的傅立叶变换等一些重要概念。同时，许多学者构造了图形小波和图形滤波器组2-10，具有多尺度变换的特点，适用于处理大尺度图形的图形信号。近年来，图形小波和图形滤波器组被广泛应用于图形信号的多分辨率分析、压缩和去噪。 　　

　　

　　Narang K和ORTEGA A首先提出了双通道临界采样图小波滤波器bank 5的设计方法。在二分图中，针对上下采样操作引起的频谱混叠，设计了正交图像小波滤波器组。该算法是为二分图或可分解成二分图的图信号而设计的。此后，NARANG S K和ORTEGA A构造了双通道双正交小波滤波器组6，它在频域中具有紧支撑，但这种双正交小波设计方法没有考虑滤波器的频谱选择性。7文献中提出了一种双通道双正交滤波器组的优化设计方法。这种设计算法充分考虑了频谱选择性，但代价是较高的重建误差。SAKIYAMA和TANAKA Y提出了通道过采样图形滤波器组的设计算法8，过采样对于图形信号处理有了更多的设计自由度。9综合考虑M通道过采样图滤波器组的性能，本文采用优化算法设计了具有良好整体性能和频谱选择性的M通道过采样图滤波器组，但由其算法设计的图滤波器组去噪性能较差。文献10提出了循环图的样条小波滤波器组，并在循环图的基础上推广到任意样条小波滤波器组。上述图形小波和图形滤波器组的结构都包含图形信号的下采样操作。但是对于一般图结构的图信号，基于图着色的采样方式并不准确，基于奇异值分解的采样方式也不适合连通图的处理。然而，基于最大生成树的采样模式在对复杂图形进行采样时也存在不准确的问题。目前，很难准确定义图形滤波器组中一般图形信号的下采样操作。不需要采样操作，可以避免采样带来的很多问题。而且目前非下采样图滤波器组的设计方法很少，需要进一步研究。 　　

　　

　　首先，本文考虑双通道非下采样图滤波器组的设计。用样条小波滤波器作为非下采样图滤波器组的分析滤波器组，然后用两种不同的方法设计合成滤波器组。其中，第一种算法利用定点域的完全重构条件，通过正则化目标函数直接求解合成滤波器，但第一种算法没有考虑合成滤波器的频谱特性。因此，第二种算法采用优化方法综合考虑滤波器组的重构特性和子带滤波器的频率特性，将集成滤波器的设计问题归结为约束优化问题。其中，以集成滤波器组的阻带能量为目标函数，以完全重构条件为约束函数。相应的优化问题是一个半正定规划问题，很容易解决。这两种方法都可以设计完全重构的双通道非下采样图滤波器组。同时，根据设计的两通道非下采样图形滤波器组，级联构造了具有多分辨率分析特性的多通道非下采样图形滤波器组。仿真结果表明，本文设计的双通道非下采样图形滤波器组具有完整的重构特性。在图形信号去噪的仿真实验中，与现有的图形滤波器组相比，多通道n 　　

　　

　　 其中(G)是图G中拉普拉斯矩阵的所有特征值组成的特征空间，P表示特征空间的投影矩阵5。hi()和gi()分别是分析子带滤波器和合成子带滤波器的谱核。双通道非下采样图形滤波器组的输入输出关系如下： 　　

　　

　　 当两通道非下采样图形滤波器组级联在两通道非下采样图形滤波器组的低频分量上时，可以获得三通道非下采样图形滤波器组。此时，f00、f01和f1分别表示三通道非下采样图形滤波器组的子带系数。在多通道非下采样图形滤波器组的仿真实验中，本文以三通道非下采样图形滤波器组为例。 　　

　　

　　1 非下采样图滤波器组的结构 　　

　　

　　2 非下采样图滤波器组的设计 　　

　　

　　根据样条小波的定义，任何图的样条分析滤波器组都可以表示为： 　　

　　

　　算法1根据完全重构条件从顶点域设计集成滤波器组，但没有考虑集成滤波器组的频率特性。 　　

　　

　　2.1 非下采样图滤波器组设计算法一 　　

　　

　　第二种算法根据公式(7)和(8)给出的分析滤波器组，考虑合成滤波器组的频谱特性，采用约束优化算法设计合成子带滤波器。首先，当n=1时，根据公式(9) 　　

和式(10)，可得分析子带滤波器频谱核为：

　　

式中：

　　

上述带优化问题为半正定规划问题，可利用半正定规划工具包有效地求解。

　　

2.3 计算复杂度分析

　　

设计算法一的计算复杂度来自于式（18）矩阵的求伪逆，算法一设计简单，能直接的求解出综合滤波器组，但对于大规模图的计算复杂度较高。而算法二的计算复杂度来自于式（38）约束问题的求解，算法二设计自由度更高，能够对任意图进行处理。

　　

3 仿真结果与分析

　　

这一部分给出一些仿真实例，所有仿真都是在相同的环境下运行。

　　

例1：首先，采用算法一设计两通道非下采样图滤波器组。其分析滤波器组由式(9)、式(10)构造产生，再利用式(19)、式(20)设计相应的综合滤波器组，以常用的Minnesota图信号作为输入信号<5>，图滤波器组的重构信噪比SNR=287.32 dB。接着，采用算法二设计非下采样图滤波器组，同样分析滤波器组由式(9)、式(10)构造产生，并通过求解优化问题(37)来获得综合滤波器组，其中参数为：Lh0=2，Lh1=2，Lg0=5，Lg1=5，λs0=1.5，λs1=0.6，α=1，β=0.1，εr=10-13。所得的滤波器组重构信噪比为SNR=271.62 dB，幅度响应如图3所示。上述实验结果表明，两种算法设计所得的两通道图滤波器组都具备完全重构特性。同时，不难发现，算法二设计所得的综合滤波器组具备频谱特性。

　　

例2：根据例1设计所得的两通道非下采样图滤波器组，构造出三通道非下采样图滤波器组，然后对Minnesota交通图采用硬阈值法进行去噪实验。本文两通道非下采样图滤波器组处理高频子带系数f1，和对比文献算法一样，硬阈值取τ=3σ，其中σ为加性噪声标准差。三通道非下采样图滤波器组对不同的高频子带系数取不同的硬阈值进行处理，处理高频子带系数f01，通过实验验证，硬阈值取τ=1.2σ，处理高频子带系数f1，硬阈值取τ=3σ。算法二参数设为：Lh0=2，Lh1=2，Lg0=2，Lg1=2，λs0=1.4，λs1=0.6，α=1，β=0.1，εr=10-13，所得重构信噪比为SNR=291.40 dB。图4给出了噪声标准差σ取不同值时的去噪结果。仿真结果表明，与现有算法设计的图滤波器组相比，本文算法二构造所得的三通道图滤波器组具备更好的去噪性能。

　　

例3：采用与例2相同的两通道和三通道图滤波器组，对实测的美国温度网络数据进行去噪实验。首先，采用最近距离的方式构造了温度图结构，邻接矩阵A设为A(i，j)=1/(Disti，j)2，如果节点i和节点j不是同一节点且有一条边相连，否则A(i，j)=0，Disti，j表示节点i和节点j间的距离。本文选取第130天的温度测量信号为例。其中文献<6>采用的是过采样的采样方式进行去噪<8>。本文算法与现有文献<4>设计的图滤波器和文献<6>算法设计的图滤波器组对比，图5给出了加性噪声标准差σ取不同值时的信噪比对比。当σ=10时，参考文献算法与文中构造所得的三通道非下采样图滤波器组进行去噪的仿真实验对比，仿真结果如图6所示。对比实验仿真结果表明，本文算法构造的图滤波器组与参考文献<6>算法相比，本文算法对于实际图信号有着更好的去噪性能。本文算法二设计所得的三通道图滤波器组的去噪性能略优于文献<4>算法。

　　

4 结束语

　　

本文构造的非下采样图滤波器组结构简单，可以对任意图的图信号进行多分辨分析。非下采样结构极大地简化了子带滤波器的设计和实现过程。本文提出了两种不同的设计方法，用于设计综合滤波器组。仿真数据和实测数据实验均表明，与已有图滤波器组对比，本文算法设计的多通道非下采样图滤波器组在图信号重构和去噪中有着优异的处理性能。后续工作将考虑图滤波器组在更广泛的实测传感器网络数据处理的应用。

　　

参考文献

　　

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作者信息:

　　

杨 圣

　　

(桂林电子科技大学 信息与通信学院，广西 桂林541004)