该模型能使学生更快地进入几何，产生兴趣。也是最近学习初中几何不可或缺的重要方法。手拉手模型是整个初中几何的重点。由于同余问题图形复杂，变形多，结论多，很多学生掌握同余问题不牢。当他们再次遇到类似问题时，仍然不知道具体的解题思路是什么。这就是孩子总结不出特点造成的问题。今天我们就来具体说说手拉手车型常见的类型。下面是四款常见的3360。 　　

　　

　　 　　

　　

　　 　　

　　

　　 　　

　　

　　经典考试1。如图，P是等边三角形ABC中的一点，Pa=3，Pb=3 3，PC=6，则 APB=_ _ _ _ _，AB是_ _ _ _ _ _ _ _。 　　

　　

　　 　　

　　

　　【解析】:将APC绕a点旋转60得到AEB，过b点为f点的BFAP， 　　

　　

　　AE=AP=3,BE=PC=6,PAE=60， 　　

　　

　　AEP是一个等边三角形， EP=AP=3， APE=60， 　　

　　

　　 　　

　　

　　变式1。如图，P是等边三角形ABC中的一点，P到三个顶点A、B、C的距离分别为3、4、5，则ABC的面积为() 　　

　　

　　 　　

　　

　　【答案】:ABC是等边三角形， ba=BC 　　

　　

　　将BPC绕b点逆时针旋转60得到BEA，连接EP，将BP延伸为f点的AFBP，如图所示 　　

　　

　　BE=BP=4,AE=PC=5,PBE=60， 　　

　　

　　BPE是一个等边三角形， 　　

　　

　　PE=PB=4,BPE=60， 　　

　　

　　在AEP，AE=5，AP=3，PE=4， 　　

　　

　　 　　

　　

　　变式2。如图，等边三角形ABC中有一点P，分别连接AP、BP、CP。如果AP 　　

　　

　　 　　

　　

　　【解析】:如图，将BPC绕B点逆时针旋转60得到AP'B，连接PP '。 　　

　　

　　根据旋转的性质，旋转角度pbp=cab=60，BP=BP， 　　

　　

　　BPP'是等边三角形，bp '=bp=8=pp 　　

　　

　　根据旋转的性质，AP'=PC=10， 　　

　　

　　在BPP '，PP'=8，AP=6， 　　

　　

　　根据勾股定理的逆定理，APP’是直角三角形， 　　

　　

　　 　　

　　

　　 　　

　　

　　2.已知在ABC中，AB=AC， BAC=，点D和E在边BC上， DAE=1/2。如图3，当=120，BD=4，CE=5时，请直接将DE的长度写成_ _ _ _ _ 　　

　　

　　 　　

　　

　　【解析】:如图3所示，将AEC绕A点顺时针旋转120到AFB的位置，连接测向， 　　

　　

　　BF=CE,ABF=ACB， 　　

　　

　　根据(1)，ADEADF， 　　

　　

　　DE=DF,BF=CE=5， 　　

　　

　　AB=AC，BAC=120， 　　

　　

　　ABC=ACB=30， 　　

　　

　　DBF=ABC ABF=ABC ACB=60， 　　

　　

　　穿过f点的是m点的FMBC， 　　

　　

　　在RtBMF， BFM=90 DBF=30，BF=5， 　　

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3.如图4，四边形ABCD中，∠CAB＝90°，∠ADC＝∠ACB＝α，tanα＝3/4，CD＝5，AD＝12．请在图中构造小刚发现的手拉手模型求BD的长．

　　

　　

【解答】如图，过点A 作AE垂直于AD，作∠AED＝α，连接CE，则∠EDC＝90°，

　　

　　

∵∠AED＝∠ACB＝α，∠CAB＝∠DAE＝90°,

　　

∴△AED∽△ACB,∴AE/AD=AC/AB.

　　

∵∠CAB＝∠DAE＝90°,

　　

∴∠CAE＝∠DAB，且AE/AD=AC/AB.

　　

∴△AEC∽△ADB,∴CE/BD=AC/AB.

　　

∵△AED∽△ACB,∴∠ADE＝∠ABC.

　　

∵∠ACB+∠ABC＝90°，∠ADC＝∠ACB,

　　

∴∠ADC+∠ADE＝90°,∴∠EDC＝90°.

　　

　　

　　

　　

4. 【问题解决】

　　

一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3．你能求出∠APB的度数吗？

　　

小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：

　　

思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；

　　

思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP′，求出∠APB的度数．

　　

请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．

　　

【类比探究】

　　

如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝1，PC＝√11，求∠APB的度数．

　　

　　

【分析】（1）思路一、先利用旋转求出∠PBP'＝90°，BP'＝BP＝2，AP'＝CP＝3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'＝90°，即可得出结论；

　　

思路二、同思路一的方法即可得出结论；

　　

（2）同（1）的思路一的方法即可得出结论．

　　

【解答】：（1）思路一、如图1，

　　

将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，

　　

∴△ABP'≌△CBP，

　　

∴∠PBP'＝90°，BP'＝BP＝2，AP'＝CP＝3，

　　

在Rt△PBP'中，BP＝BP'＝2，

　　

∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，PP'＝√2，,BP＝2√2，

　　

∵AP＝1，

　　

∴AP+PP'＝1+8＝9，

　　

∵AP'＝32＝9，∴AP+PP'＝AP'，

　　

∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，

　　

∴∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝90°+45°＝135°；

　　

　　

（2）如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，

　　

∴△ABP'≌△CBP，

　　

∴∠PBP'＝90°，BP'＝BP＝1，AP'＝CP＝√11，

　　

在Rt△PBP'中，BP＝BP'＝1，

　　

∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，PP'＝√2BP＝√2，

　　

∵AP＝3，

　　

∴AP+PP'＝9+2＝11，

　　

∵AP'＝（√11）＝11，

　　

∴AP+PP'＝AP'，

　　

∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，

　　

∴∠APB＝∠APP'﹣∠BPP'＝90°﹣45°＝45°．

　　

　　

　　

5. 如图，正方形ABCD中，AB=2√5，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．求线段OF长的最小值。

　　

分析：观察动图：

　　

　　

因为OE=2，所以E点在以O为圆心，2为半径的一段圆弧上（在正方形内）。旋转中心是定点D，主动点是E，从动点是F；DE⊥DF且DE=DF，故旋转方向为逆时针，旋转角度为90°，缩放比例为1:1。

　　

　　

解析：作DO'⊥DO且DO'=DO，则F点的运动轨迹是以点O'为圆心，2为半径的圆。连接OO'，与圆O'交点即为F点，此时OF最小。

　　

　　

根据手拉手模型的旋转全等，显然ODE≌O'DF，所以∠ODE=∠O'DF。易证∠ODO'=90°，故ODO'为等腰直角三角形。

　　

　　

因为OC=√5，CD=2√5，OC⊥CD，所以OD=5，所以OO'=5√2。故OF的最小值是（5√2-2）。

　　

反思总结手拉手模型，是初中几何最常见的一类重要模型，它又分为全等型手拉手模型和相似型手拉手模型，究其本质就是图形的旋转全等和旋转缩放。全等型手拉手模型具有以下三个主要特征：双等腰、共顶点、顶角相等。

　　

如果图中只有一个等腰三角形，我们可以再构造出另一个等腰三角形，从而将图形补成手拉手模型。这样就能应用"手拉手模型"中的三角形全等，将条件集中到一个三角形中，这样问题就能迎刃而解。

　　

　　

尤其针对第5题这类题型在中考中越来越热，其主要结构就是两个动点和一个定点，其中一个动点绕着这个定点旋转一定的角度。此类题由于动中有动，动点联动，变化复杂，故很有研究的价值和必要。本质实际上就是两动一定加旋转。我们把两个动点区分为"主动点"和"从动点"，一个定点就是旋转中心。如果同时满足两点：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定值（如以上三则例题中∠CAB是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定值（如以上三则例题中BA:CA是定值），则从动点与主动点的运动轨迹的形状相同，大小则按上述距离之比进行缩放。我们把具有以上性质的几何模型称之为主从联动模型。

　　

手拉手模型对以后几何的学习有着重要的影响，不仅在于知识量上的掌握，还在于学习方法上的改变，让孩子们学会总结，学会类比，这才是学习手拉手模型最重要的地方。